Se z=f(u, v), onde u=x y, v=y / x e f têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, mostre que
x^2 partial^2 zpartial x^2-y^2 partial^2 zpartial y^2=-4 u v partial^2 zpartial u partial v+2 v partial zpartial v

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função z=f(u,v) com u=xy e v=y/x, vale a identidade x^2zxx-y^2zyy=-4uv,zuv+2v,zv. O conteúdo principal aqui é aplicar a regra da cadeia para primeiras e segundas derivadas parciais e usar também a regra do quociente para v.

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas de u e v em relação a x e y. Como u=xy e v=y/x, temos:
ux=y, uy=x, vx=ddxl(yxr)=-yx^2=-vx, vy=1x

Passo 3

Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para encontrar zx e zy:
zx=fu,ux+fv,vx=y,fu-vxfv, zy=fu,uy+fv,vy=x,fu+1xfv

Passo 4

Agora calculamos zxx derivando zx em relação a x. Usamos produto, cadeia e regra do quociente:
zxx=y^2fuu-2y vxfuv+v^2x^2fvv+2vx^2fv

Passo 5

De modo análogo, derivamos zy em relação a y para achar zyy:
zyy=x^2fuu+2fuv+1x^2fvv

Passo 6

Finalmente, montamos a combinação x^2zxx-y^2zyy e simplificamos:
x^2zxx=x^2y^2fuu-2xyv fuv+v^2fvv+2v fv,
y^2zyy=x^2y^2fuu+2y^2fuv+y^2x^2fvv

Passo 7

Subtraindo, os termos em fuu e fvv se cancelam e obtemos
x^2zxx-y^2zyy=-2xyv fuv-2y^2fuv+2v fv=-4y^2fuv+2v fv

Passo 8

Como y^2=uv, isso fica exatamente
-4uv,fuv+2v,fv,
que em notação de z corresponde a
-4uv,zuv+2v,zv,
mostrando a identidade pedida.

Resposta

x^2zxx-y^2zyy=-4uv,zuv+2v,zv

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