Se
, onde
e
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para a função
com
e
, vale a identidade
. O conteúdo principal aqui é aplicar a regra da cadeia para primeiras e segundas derivadas parciais e usar também a regra do quociente para
.
Passo 2
Primeiro vamos achar as derivadas de
e
em relação a
e
. Como
e
, temos:
Passo 3
Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
e
:
Passo 4
Agora calculamos
derivando
em relação a
. Usamos produto, cadeia e regra do quociente:
Passo 5
De modo análogo, derivamos
em relação a
para achar
:
Passo 6
Finalmente, montamos a combinação
e simplificamos:
Passo 7
Subtraindo, os termos em
e
se cancelam e obtemos
Passo 8
Como
, isso fica exatamente
que em notação de
mostrando a identidade pedida.