Nos Exercícios 1-22, encontre partial f / partial x e partial f / partial y.
f(x, y)=rho^(x+y+1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de f(x,y)=ρ^(x+y+1). O conteúdo envolvido é derivada de função exponencial com base arbitrária ρ e vamos usar a regra da cadeia e a propriedade f(x,y)=e^{(x+y+1)lnρ}.

Passo 2

Primeiro, escrevemos f em forma de exponencial natural para facilitar a derivada:
f(x,y)=ρ^(x+y+1)=e^(x+y+1)ln(ρ)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para a derivada parcial em relação a x. Se u(x,y)=(x+y+1)ln(ρ), então f=e^u e
partial fpartial x=e^ucdotpartial upartial x
Como u=(x+y+1)ln(ρ), temos ∂u/∂x=ln(ρ). Portanto
partial fpartial x=e^(x+y+1)ln(ρ)cdotln(ρ)=ρ^(x+y+1)ln(ρ)

Passo 4

Para ∂f/∂y, o procedimento é análogo: ∂u/∂y=ln(ρ) também, logo
partial fpartial y=ρ^(x+y+1)ln(ρ)

Resposta

∂f/∂x=ρ^{(x+y+1)}ln(ρ), ∂f/∂y=ρ^{(x+y+1)}ln(ρ)

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