1. Considere o campo vetorial em \mathbb{R}^{2}
\mathbf{F}(x, y)=2 x \mathbf{i}-3 y \mathbf{j} .
a) Determine \mathbf{F}(1,1), \mathbf{F}(-2,1), \mathbf{F}(0,-3) e \mathbf{F}(2,-2) .
b) Com base nesses vetores, descreva geometricamente o comportamento do campo.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial em \mathbb{R}^2
\mathbf{F}(x,y)=2x\,\mathbf{i}-3y\,\mathbf{j}.
Pede-se:
  • (a) calcular \mathbf{F}(1,1), \mathbf{F}(-2,1), \mathbf{F}(0,-3) e \mathbf{F}(2,-2).
  • (b) descrever geometricamente o comportamento do campo com base nesses vetores.
Os dados relevantes que vou usar são apenas as coordenadas dos pontos pedidos:
\,(1,1),\;(-2,1),\;(0,-3),\;(2,-2)\,.

Passo 2

O que significa avaliar um campo vetorial num ponto? Um campo vetorial em \mathbb{R}^2 dá, para cada ponto (x,y), um vetor com duas componentes: a componente na direção x (multiplicando \mathbf{i}) e a componente na direção y (multiplicando \mathbf{j}). Aqui as componentes são funções simples:
  • componente x é 2x,
  • componente y é -3y.
Portanto, para obter \mathbf{F}(x_0,y_0) basta substituir x=x_0 e y=y_0 nas expressões das componentes:
\mathbf{F}(x_0,y_0)=\bigl(2x_0\bigr)\mathbf{i}+\bigl(-3y_0\bigr)\mathbf{j}.
Também é útil saber o comprimento (módulo) do vetor, para avaliar o tamanho da seta no desenho:
\lVert \mathbf{F}(x,y)\rVert = \sqrt{(2x)^2+(-3y)^2}=\sqrt{4x^2+9y^2}.
Vou usar isso numericamente para ajudar a interpretar os vetores.

Passo 3

Calcular \mathbf{F}(1,1).
Substituindo (x,y)=(1,1):
\mathbf{F}(1,1)=2\cdot 1\,\mathbf{i}-3\cdot 1\,\mathbf{j}=2\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}.
Módulo:
\lVert \mathbf{F}(1,1)\rVert = \sqrt{4\cdot 1^2+9\cdot 1^2}=\sqrt{13}\approx 3,606.
Interpretação imediata: no ponto (1,1) a seta aponta para a direita (componente +2) e para baixo (componente -3), sendo de magnitude aproximadamente 3,606.

Passo 4

Calcular \mathbf{F}(-2,1).
Substituindo (x,y)=(-2,1):
\mathbf{F}(-2,1)=2\cdot(-2)\,\mathbf{i}-3\cdot 1\,\mathbf{j}=-4\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}.
Módulo:
\lVert \mathbf{F}(-2,1)\rVert = \sqrt{4\cdot(-2)^2+9\cdot 1^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Interpretação: no ponto (-2,1) a seta aponta para a esquerda (componente -4) e para baixo (componente -3), magnitude 5.

Passo 5

Calcular \mathbf{F}(0,-3).
Substituindo (x,y)=(0,-3):
\mathbf{F}(0,-3)=2\cdot 0\,\mathbf{i}-3\cdot(-3)\,\mathbf{j}=0\,\mathbf{i}+9\,\mathbf{j}=9\,\mathbf{j}.
Módulo:
\lVert \mathbf{F}(0,-3)\rVert = \sqrt{4\cdot 0^2+9\cdot(-3)^2}=\sqrt{81}=9.
Interpretação: no ponto (0,-3) a seta é puramente para cima (componente horizontal nula) e bem grande (módulo 9).

Passo 6

Calcular \mathbf{F}(2,-2).
Substituindo (x,y)=(2,-2):
\mathbf{F}(2,-2)=2\cdot 2\,\mathbf{i}-3\cdot(-2)\,\mathbf{j}=4\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j}.
Módulo:
\lVert \mathbf{F}(2,-2)\rVert = \sqrt{4\cdot 2^2+9\cdot(-2)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\approx 7,211.
Interpretação: no ponto (2,-2) a seta aponta para a direita e para cima (ambas componente positivas), magnitude aproximada 7,211.

Passo 7

Agora, observando os resultados acima, vamos traduzir isso numa descrição geométrica mais geral e intuitiva (sem fórmulas pesadas).
Primeiro: cada componente depende apenas de uma coordenada:
  • a componente horizontal depende só de x 2x);
  • a componente vertical depende só de y -3y).
Consequências simples e úteis:
  • Se x>0 a componente horizontal é positiva (setas apontam para a direita); se x<0 é negativa (setas para a esquerda). Na reta x=0 as setas são verticais (sem componente horizontal).
  • Se y>0 a componente vertical é negativa (setas apontam para baixo); se y<0 é positiva (setas para cima). Na reta y=0 as setas são horizontais (sem componente vertical).

Passo 8

Interpretação global e imagem mental do campo (como fazer rápido no caderno da prova):
  • No quadrante I ( x>0,y>0): componentes (+,\,-) → setas apontam para a direita e para baixo (como \mathbf{F}(1,1)).
  • No quadrante II ( x<0,y>0): componentes (-,\,-) → para a esquerda e para baixo (como \mathbf{F}(-2,1)).
  • No quadrante III ( x<0,y<0): componentes (-,\,+) → para a esquerda e para cima.
  • No quadrante IV ( x>0,y<0): componentes (+,\,+) → para a direita e para cima (como \mathbf{F}(2,-2)).
Comportamento ao longo dos eixos:
  • Sobre o eixo x ( y=0): vetores são puramente horizontais, direção igual ao sinal de x.
  • Sobre o eixo y ( x=0): vetores são puramente verticais, direção oposta ao sinal de y.
Comportamento qualitativo do campo inteiro: é um campo linear que “empurra” para longe da origem ao longo do eixo x (porque a componente x cresce com x e tem sinal igual ao de x) e “puxa” em direção à origem ao longo do eixo y (porque a componente y tem sinal oposto ao de y). Em termos intuitivos, o ponto (0,0) age como uma sela: instável na direção x (repulsão) e estável na direção y (atração). Isso fica claro observando os vetores calculados nos passos anteriores.

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (prático):
  • Para esboçar: calcule vetores em alguns pontos com coordenadas pequenas \pm 1,\pm 2. Use setas proporcionais aos módulos (a fórmula \sqrt{4x^2+9y^2} ajuda a comparar comprimentos).
  • Lembre-se: sinais das componentes dão direção; valores absolutos dão tamanho.
  • Não precisa calcular módulo sempre — só calcule se quiser comparar comprimentos.

Resposta

a) \mathbf{F}(1,1)=2\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j},\quad \mathbf{F}(-2,1)=-4\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j},\quad \mathbf{F}(0,-3)=9\,\mathbf{j},\quad \mathbf{F}(2,-2)=4\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j}.
b) O campo tem componente horizontal 2x (aponta para a direita quando x>0 e para a esquerda quando x<0) e componente vertical -3y (aponta para baixo quando y>0 e para cima quando y<0); por isso as setas no quadrante I vão para direita e baixo, no II para esquerda e baixo, no III para esquerda e cima, no IV para direita e cima. Ao longo do eixo x os vetores são puramente horizontais e ao longo do eixo y puramente verticais; globalmente o ponto (0,0) comporta-se como uma sela (repulsão na direção x, atração na direção y).

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