- Considere o campo vetorial em
a) Determine
e
.
b) Com base nesses vetores, descreva geometricamente o comportamento do campo.
b) Com base nesses vetores, descreva geometricamente o comportamento do campo.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial em
Pede-se:
- (a) calcular
, , e . - (b) descrever geometricamente o comportamento do campo com base nesses vetores.
Os dados relevantes que vou usar são apenas as coordenadas dos pontos pedidos:
.
Passo 2
O que significa avaliar um campo vetorial num ponto? Um campo vetorial em
dá, para cada ponto
, um vetor com duas componentes: a componente na direção
(multiplicando
) e a componente na direção
(multiplicando
). Aqui as componentes são funções simples:
- componente
é , - componente
é .
Portanto, para obter
basta substituir
e
nas expressões das componentes:
Também é útil saber o comprimento (módulo) do vetor, para avaliar o tamanho da seta no desenho:
Vou usar isso numericamente para ajudar a interpretar os vetores.
Passo 3
Calcular
.
Substituindo
:
Módulo:
Interpretação imediata: no ponto
a seta aponta para a direita (componente
) e para baixo (componente
), sendo de magnitude aproximadamente
.
Passo 4
Calcular
.
Substituindo
:
Módulo:
Interpretação: no ponto
a seta aponta para a esquerda (componente
) e para baixo (componente
), magnitude
.
Passo 5
Calcular
.
Substituindo
:
Módulo:
Interpretação: no ponto
a seta é puramente para cima (componente horizontal nula) e bem grande (módulo
).
Passo 6
Calcular
.
Substituindo
:
Módulo:
Interpretação: no ponto
a seta aponta para a direita e para cima (ambas componente positivas), magnitude aproximada
.
Passo 7
Agora, observando os resultados acima, vamos traduzir isso numa descrição geométrica mais geral e intuitiva (sem fórmulas pesadas).
Primeiro: cada componente depende apenas de uma coordenada:
- a componente horizontal depende só de
(é ); - a componente vertical depende só de
(é ).
Consequências simples e úteis:
- Se
a componente horizontal é positiva (setas apontam para a direita); se é negativa (setas para a esquerda). Na reta as setas são verticais (sem componente horizontal). - Se
a componente vertical é negativa (setas apontam para baixo); se é positiva (setas para cima). Na reta as setas são horizontais (sem componente vertical).
Passo 8
Interpretação global e imagem mental do campo (como fazer rápido no caderno da prova):
- No quadrante I (
): componentes → setas apontam para a direita e para baixo (como ). - No quadrante II (
): componentes → para a esquerda e para baixo (como ). - No quadrante III (
): componentes → para a esquerda e para cima. - No quadrante IV (
): componentes → para a direita e para cima (como ).
Comportamento ao longo dos eixos:
- Sobre o eixo
( ): vetores são puramente horizontais, direção igual ao sinal de . - Sobre o eixo
( ): vetores são puramente verticais, direção oposta ao sinal de .
Comportamento qualitativo do campo inteiro: é um campo linear que “empurra” para longe da origem ao longo do eixo
(porque a componente
cresce com
e tem sinal igual ao de
) e “puxa” em direção à origem ao longo do eixo
(porque a componente
tem sinal oposto ao de
). Em termos intuitivos, o ponto
age como uma sela: instável na direção
(repulsão) e estável na direção
(atração). Isso fica claro observando os vetores calculados nos passos anteriores.
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (prático):
- Para esboçar: calcule vetores em alguns pontos com coordenadas pequenas
. Use setas proporcionais aos módulos (a fórmula ajuda a comparar comprimentos). - Lembre-se: sinais das componentes dão direção; valores absolutos dão tamanho.
- Não precisa calcular módulo sempre — só calcule se quiser comparar comprimentos.
Resposta
a)
b) O campo tem componente horizontal (aponta para a direita quando
e para a esquerda quando
) e componente vertical
(aponta para baixo quando
e para cima quando
); por isso as setas no quadrante I vão para direita e baixo, no II para esquerda e baixo, no III para esquerda e cima, no IV para direita e cima. Ao longo do eixo
os vetores são puramente horizontais e ao longo do eixo
puramente verticais; globalmente o ponto
comporta-se como uma sela (repulsão na direção
, atração na direção
).
b) O campo tem componente horizontal