\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x y+z^{2}\right) \mathbf{i}+\left(x^{2} z\right) \mathbf{j}+(2 x z+y) \mathbf{k}
a) Determine \operatorname{div} \mathbf{F} .
b) Determine \operatorname{rot} \mathbf{F} .
c) Verifique se \mathbf{F} é conservativo.
d) Verifique se o campo é conservativo.
\mathbf{G}(x, y, z)=(2 x y z) \mathbf{i}+\left(x^{2} z+3 y^{2}\right) \mathbf{j}+\left(x^{2} y+4 z\right) \mathbf{k}
As informações relevantes são as componentes dos dois campos acima. A resolução começará calculando derivadas parciais necessárias para divergente e rotacional e em seguida aplicando o critério usual para conservatividade em \mathbb{R}^3.
Passo 2
O que é divergente e como calcular (mini-aula rápida e prática): a divergência de um campo \mathbf{V}=(V_1,V_2,V_3) é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às respetivas coordenadas:
Verificação de conservatividade para \mathbf{F} (explicação e aplicação): em \mathbb{R}^{3} (um domínio simplesmente conexo) um campo vetorial com derivadas parciais contínuas é conservativo se, e somente se, o seu rotacional é o vetor nulo em todo o domínio. Então a verificação prática é: calcule \operatorname{rot}\mathbf{F} e veja se ele é identicamente zero.
Para que esse vetor fosse zero para todo (x,y,z) seria necessário ter 1-x^{2}=0 para todo x (o que exigiria x=\pm1 para todos os x, absurdo) e também x(2z-1)=0 para todo (x,z). Logo o rotacional não é o vetor nulo em \mathbb{R}^{3}. Conclusão: \mathbf{F} não é conservativo.
Se alguém quisesse, poderia também apresentar um caminho explícito mostrando caminho dependência, mas não é necessário porque a condição do rotacional já decide.
Passo 5
Verificação para \mathbf{G}: primeiro calcular o rotacional de \mathbf{G}. As componentes são G_1=2xyz, G_2=x^{2}z+3y^{2}, G_3=x^{2}y+4z. Usando as fórmulas do Passo 3:
Conclusão sobre conservatividade de \mathbf{G} e construção do potencial (mini-aula prática): como \operatorname{rot}\mathbf{G}=\mathbf{0} em todo \mathbb{R}^{3} e todas as derivadas parciais são contínuas, e \mathbb{R}^{3} é simplesmente conexo, segue que \mathbf{G} é conservativo; isto é, existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{G}.
Vamos encontrar \varphi. De \nabla\varphi=\mathbf{G} temos:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=2xyz.
Integramos em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int 2xyz\,dx = x^{2}yz + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função “constante” em relação a x.