1. Considere o campo vetorial em \mathbb{R}^{3}
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x y+z^{2}\right) \mathbf{i}+\left(x^{2} z\right) \mathbf{j}+(2 x z+y) \mathbf{k}
a) Determine \operatorname{div} \mathbf{F} .
b) Determine \operatorname{rot} \mathbf{F} .
c) Verifique se \mathbf{F} é conservativo.
d) Verifique se o campo é conservativo.
\mathbf{G}(x, y, z)=(2 x y z) \mathbf{i}+\left(x^{2} z+3 y^{2}\right) \mathbf{j}+\left(x^{2} y+4 z\right) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em \mathbb{R}^{3}
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(xy+z^{2}\bigr)\mathbf{i}+\bigl(x^{2}z\bigr)\mathbf{j}+\bigl(2xz+y\bigr)\mathbf{k}
e pede:
  • (a) determinar \operatorname{div}\mathbf{F};
  • (b) determinar \operatorname{rot}\mathbf{F} (isto é, \nabla\times\mathbf{F});
  • (c) verificar se \mathbf{F} é conservativo.
Depois o enunciado dá outro campo
\mathbf{G}(x,y,z)=(2xyz)\mathbf{i}+\bigl(x^{2}z+3y^{2}\bigr)\mathbf{j}+\bigl(x^{2}y+4z\bigr)\mathbf{k}
e pede:
  • (d) verificar se \mathbf{G} é conservativo.
As informações relevantes são as componentes dos dois campos acima. A resolução começará calculando derivadas parciais necessárias para divergente e rotacional e em seguida aplicando o critério usual para conservatividade em \mathbb{R}^3.

Passo 2

O que é divergente e como calcular (mini-aula rápida e prática): a divergência de um campo \mathbf{V}=(V_1,V_2,V_3) é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às respetivas coordenadas:
\operatorname{div}\mathbf{V}=\frac{\partial V_1}{\partial x}+\frac{\partial V_2}{\partial y}+\frac{\partial V_3}{\partial z}.
Cada termo é uma derivada parcial simples: trata-se de derivar a componente considerando as outras variáveis como constantes.
Aplicando isso a \mathbf{F}:
  • V_1=xy+z^{2}. Derivando em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy+z^{2}\bigr)=y,
porque y é tratado como constante e z^{2} não depende de x.
  • V_2=x^{2}z. Derivando em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}z\bigr)=0,
pois x^{2}z não depende de y.
  • V_3=2xz+y. Derivando em relação a z:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2xz+y\bigr)=2x,
pois y é constante e \partial_z(2xz)=2x.
Somando:
\operatorname{div}\mathbf{F}=y+0+2x=2x+y.

Passo 3

O que é rotacional e como calcular (mini-aula prática): o rotacional de \mathbf{V}=(V_1,V_2,V_3) é o vetor
\operatorname{rot}\mathbf{V}=\nabla\times\mathbf{V}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\[6pt] V_1 & V_2 & V_3 \end{vmatrix},
o que dá as componentes:
(\operatorname{rot}\mathbf{V})_1=\frac{\partial V_3}{\partial y}-\frac{\partial V_2}{\partial z}, \qquad (\operatorname{rot}\mathbf{V})_2=\frac{\partial V_1}{\partial z}-\frac{\partial V_3}{\partial x}, \qquad (\operatorname{rot}\mathbf{V})_3=\frac{\partial V_2}{\partial x}-\frac{\partial V_1}{\partial y}.
Agora aplicando isso a \mathbf{F} com V_1=xy+z^{2}, V_2=x^{2}z, V_3=2xz+y:
  • Componente x:
(\operatorname{rot}\mathbf{F})_1=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xz+y\bigr)-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}z\bigr).
Calcule cada derivada:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xz+y\bigr)=1, \qquad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}z\bigr)=x^{2}.
Portanto
(\operatorname{rot}\mathbf{F})_1=1-x^{2}.
  • Componente y:
(\operatorname{rot}\mathbf{F})_2=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(xy+z^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xz+y\bigr).
Calcule:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(xy+z^{2}\bigr)=2z, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xz+y\bigr)=2z.
Logo
(\operatorname{rot}\mathbf{F})_2=2z-2z=0.
  • Componente z:
(\operatorname{rot}\mathbf{F})_3=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}z\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy+z^{2}\bigr).
Calcule:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}z\bigr)=2xz, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy+z^{2}\bigr)=x.
Portanto
(\operatorname{rot}\mathbf{F})_3=2xz-x=x(2z-1).
Juntando as componentes:
\operatorname{rot}\mathbf{F}=(1-x^{2})\mathbf{i}+0\mathbf{j}+x(2z-1)\mathbf{k}.]

Passo 4

Verificação de conservatividade para \mathbf{F} (explicação e aplicação): em \mathbb{R}^{3} (um domínio simplesmente conexo) um campo vetorial com derivadas parciais contínuas é conservativo se, e somente se, o seu rotacional é o vetor nulo em todo o domínio. Então a verificação prática é: calcule \operatorname{rot}\mathbf{F} e veja se ele é identicamente zero.
Do Passo 3 obtemos
\operatorname{rot}\mathbf{F}=(1-x^{2})\mathbf{i}+0\mathbf{j}+x(2z-1)\mathbf{k}.
Para que esse vetor fosse zero para todo (x,y,z) seria necessário ter 1-x^{2}=0 para todo x (o que exigiria x=\pm1 para todos os x, absurdo) e também x(2z-1)=0 para todo (x,z). Logo o rotacional não é o vetor nulo em \mathbb{R}^{3}. Conclusão: \mathbf{F} não é conservativo.
Se alguém quisesse, poderia também apresentar um caminho explícito mostrando caminho dependência, mas não é necessário porque a condição do rotacional já decide.

Passo 5

Verificação para \mathbf{G}: primeiro calcular o rotacional de \mathbf{G}. As componentes são G_1=2xyz, G_2=x^{2}z+3y^{2}, G_3=x^{2}y+4z. Usando as fórmulas do Passo 3:
  • Componente x:
(\operatorname{rot}\mathbf{G})_1=\frac{\partial G_3}{\partial y}-\frac{\partial G_2}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y+4z\bigr)-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}z+3y^{2}\bigr).
Calcule:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y+4z\bigr)=x^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}z+3y^{2}\bigr)=x^{2}.
Logo
(\operatorname{rot}\mathbf{G})_1=x^{2}-x^{2}=0.
  • Componente y:
(\operatorname{rot}\mathbf{G})_2=\frac{\partial G_1}{\partial z}-\frac{\partial G_3}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2xyz\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y+4z\bigr).
Calcule:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2xyz\bigr)=2xy, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y+4z\bigr)=2xy.
Logo
(\operatorname{rot}\mathbf{G})_2=2xy-2xy=0.
  • Componente z:
(\operatorname{rot}\mathbf{G})_3=\frac{\partial G_2}{\partial x}-\frac{\partial G_1}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}z+3y^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xyz\bigr).
Calcule:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}z+3y^{2}\bigr)=2xz, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xyz\bigr)=2xz.
Logo
(\operatorname{rot}\mathbf{G})_3=2xz-2xz=0.
Portanto
\operatorname{rot}\mathbf{G}=\mathbf{0}.

Passo 6

Conclusão sobre conservatividade de \mathbf{G} e construção do potencial (mini-aula prática): como \operatorname{rot}\mathbf{G}=\mathbf{0} em todo \mathbb{R}^{3} e todas as derivadas parciais são contínuas, e \mathbb{R}^{3} é simplesmente conexo, segue que \mathbf{G} é conservativo; isto é, existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{G}.
Vamos encontrar \varphi. De \nabla\varphi=\mathbf{G} temos:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=2xyz.
Integramos em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int 2xyz\,dx = x^{2}yz + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função “constante” em relação a x.
Agora usamos a componente y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x^{2}z+\frac{\partial h}{\partial y}
que deve ser igual a G_2=x^{2}z+3y^{2}. Portanto
\frac{\partial h}{\partial y}=3y^{2}.
Integrando em y:
h(y,z)=\int 3y^{2}\,dy = y^{3}+g(z),
onde g(z) depende só de z.
Por fim, usamos a componente z:
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=x^{2}y+g'(z)
que deve ser igual a G_3=x^{2}y+4z. Assim
g'(z)=4z,
logo
g(z)=\int 4z\,dz=2z^{2}+C,
com C constante arbitrária.
Reunindo tudo:
\varphi(x,y,z)=x^{2}yz+y^{3}+2z^{2}+C.
Verificação rápida: derivando \varphi nas três coordenadas volta-se exatamente \mathbf{G}.

Resposta

(a) \operatorname{div}\mathbf{F}=2x+y
(b) \displaystyle \operatorname{rot}\mathbf{F}=(1-x^{2})\mathbf{i}+0\mathbf{j}+x(2z-1)\mathbf{k}
(c) \mathbf{F} não é conservativo (pois \operatorname{rot}\mathbf{F}\not\equiv\mathbf{0}).
(d) \mathbf{G} é conservativo. Um potencial é \displaystyle \varphi(x,y,z)=x^{2}yz+y^{3}+2z^{2}+C (com C constante).

Exercícios relacionados