- Seja
a) Determine
.
b) Calcule o vetor gradiente no ponto (
).
c) Determine a derivada direcional de
no ponto
na direção de
.
b) Calcule o vetor gradiente no ponto (
c) Determine a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado dá a função
Pede três coisas:
- (a) Determinar
(o vetor gradiente, isto é, as derivadas parciais organizadas como vetor). - (b) Calcular o vetor gradiente no ponto
. - (c) Determinar a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor .
Informações relevantes dadas:
- A função explícita
. - O ponto para avaliação:
. - O vetor de direção para a derivada direcional:
.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicadinhos e simples):
- A derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo ) mede como varia quando só mudamos mantendo as outras variáveis fixas. Para calcular a derivada parcial, tratamos as outras variáveis como constantes. - O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Cada componente é uma derivada parcial.
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário vale
ou seja, produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário que indica a direção. Por isso, se o vetor de direção dado
não for unitário, primeiro normalizamos:
.
Passo 3
Calcular
.
Analisando a função termo a termo:
- Para
: ao derivar em relação a (mantendo constantes), a derivada é porque a regra da potência dá . - Para
: não depende de (pois é função só de ), então sua derivada parcial em relação a é .
Logo,
Passo 4
Calcular
.
Termo a termo:
- Para
: ao derivar em relação a , e são constantes, então a derivada é . - Para
: aplicar a regra da cadeia. A função externa é e a interna é . A derivada de em relação a é , e . Portanto a derivada é .
Somando:
Passo 5
Calcular
.
Termo a termo:
- Para
: ao derivar em relação a , e são constantes, então a derivada é . - Para
: novamente regra da cadeia. Agora , logo a derivada é .
Somando:
Passo 6
Montagem final do gradiente (juntando as três componentes obtidas):
Explicação curta: cada componente é a taxa de variação de
ao variar só uma das coordenadas; por exemplo a componente
diz quanto
muda por unidade de
mantendo
fixos.
Passo 7
Avaliar
no ponto
.
Substituir
,
,
nas fórmulas das componentes:
- Primeira componente:
. - Para
com : . - Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
Portanto, o gradiente no ponto é
Passo 8
Preparar para a derivada direcional: normalizar
.
O vetor dado é
. Calcular sua norma:
O vetor unitário na direção de
é
Passo 9
Calcular a derivada direcional em
na direção de
.
Usar a fórmula
Fazer o produto escalar com
e
: