1. Seja
f(x, y, z)=x^{2} y z+e^{y z}
a) Determine \nabla f(x, y, z) .
b) Calcule o vetor gradiente no ponto ( 1,0,2 ).
c) Determine a derivada direcional de f no ponto (1,0,2) na direção de \mathbf{v}=2 \mathbf{i}-\mathbf{j}+2 \mathbf{k} .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{2}y z + e^{y z}.
Pede três coisas:
  • (a) Determinar \nabla f(x,y,z) (o vetor gradiente, isto é, as derivadas parciais organizadas como vetor).
  • (b) Calcular o vetor gradiente no ponto (1,0,2).
  • (c) Determinar a derivada direcional de f no ponto (1,0,2) na direção do vetor \mathbf{v}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}.
Informações relevantes dadas:
  • A função explícita f(x,y,z).
  • O ponto para avaliação: (1,0,2).
  • O vetor de direção para a derivada direcional: \mathbf{v}=(2,-1,2).

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicadinhos e simples):
  • A derivada parcial de f em relação a uma variável (por exemplo x) mede como f varia quando só mudamos x mantendo as outras variáveis fixas. Para calcular a derivada parcial, tratamos as outras variáveis como constantes.
  • O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\\ \dfrac{\partial f}{\partial y},\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada componente é uma derivada parcial.
  • A derivada direcional de f no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} vale
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
ou seja, produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário que indica a direção. Por isso, se o vetor de direção dado \mathbf{v} não for unitário, primeiro normalizamos: \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Analisando a função termo a termo:
  • Para x^{2}y z: ao derivar em relação a x (mantendo y,z constantes), a derivada é 2x y z porque a regra da potência dá d(x^2)/dx = 2x.
  • Para e^{y z}: não depende de x (pois é função só de y z), então sua derivada parcial em relação a x é 0.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2x y z.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Termo a termo:
  • Para x^{2}y z: ao derivar em relação a y, x^{2} e z são constantes, então a derivada é x^{2} z.
  • Para e^{y z}: aplicar a regra da cadeia. A função externa é e^{(\cdot)} e a interna é y z. A derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}, e du/dy = z. Portanto a derivada é e^{y z}\cdot z.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=x^{2} z + z e^{y z}=z\bigl(x^{2}+e^{y z}\bigr).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Termo a termo:
  • Para x^{2}y z: ao derivar em relação a z, x^{2} e y são constantes, então a derivada é x^{2} y.
  • Para e^{y z}: novamente regra da cadeia. Agora du/dz = y, logo a derivada é e^{y z}\cdot y.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=x^{2} y + y e^{y z}=y\bigl(x^{2}+e^{y z}\bigr).

Passo 6

Montagem final do gradiente (juntando as três componentes obtidas):
\nabla f(x,y,z)=\bigl(2x y z,\; z(x^{2}+e^{y z}),\; y(x^{2}+e^{y z})\bigr).
Explicação curta: cada componente é a taxa de variação de f ao variar só uma das coordenadas; por exemplo a componente 2x y z diz quanto f muda por unidade de x mantendo y,z fixos.

Passo 7

Avaliar \nabla f no ponto (1,0,2).
Substituir x=1, y=0, z=2 nas fórmulas das componentes:
  • Primeira componente: 2x y z = 2\cdot 1\cdot 0\cdot 2 = 0.
  • Para e^{y z} com y=0, z=2: \,e^{y z}=e^{0}=1.
  • Segunda componente: z(x^{2}+e^{y z}) = 2\bigl(1^{2}+1\bigr)=2\cdot 2=4.
  • Terceira componente: y(x^{2}+e^{y z}) = 0\cdot(1+1)=0.
Portanto, o gradiente no ponto é
\nabla f(1,0,2)=(0,\,4,\,0).

Passo 8

Preparar para a derivada direcional: normalizar \mathbf{v}.
O vetor dado é \mathbf{v}=(2,-1,2). Calcular sua norma:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
O vetor unitário na direção de \mathbf{v} é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right).

Passo 9

Calcular a derivada direcional em (1,0,2) na direção de \mathbf{v}.
Usar a fórmula
D_{\mathbf{u}}f(1,0,2)=\nabla f(1,0,2)\cdot\mathbf{u}.
Fazer o produto escalar com \nabla f(1,0,2)=(0,4,0) e \mathbf{u}=\left(\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right):
D_{\mathbf{u}}f(1,0,2)=0\cdot\frac{2}{3}+4\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)+0\cdot\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\bigl(2x y z,\; z(x^{2}+e^{y z}),\; y(x^{2}+e^{y z})\bigr)
\nabla f(1,0,2)=(0,\,4,\,0)
D_{\mathbf{u}}f(1,0,2)=-\dfrac{4}{3}

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