Calcule o trabalho realizado pela força \mathbf{F} ao longo da curva C. Considere os seguintes casos:
\mathbf{F}=\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathbf{j}, e a curva C é composta por dois segmentos de reta: - O A, que vai do ponto O=(0,0) ao ponto A=(3,0); - A B, que vai do ponto A=(3,0) ao ponto B=(3,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
da força \mathbf{F}=(x^{2}+y^{2})\,\mathbf{j} ao longo da curva C formada por dois segmentos de reta: O A de (0,0) a (3,0) e A B de (3,0) a (3,3). Vamos usar integrais de linha de campos vetoriais e parametrizar cada segmento.

Passo 2

Para o segmento O A:
parametrização \mathbf{r}(t)=(t,0), 0\le t\le3.
Então
d\mathbf{r}=(1,0)\,dt,
e em cada ponto y=0, logo
\mathbf{F}=(x^{2}+y^{2})\,\mathbf{j}=(0,\,t^{2}+0)=(0,t^{2}).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(0,t^{2})\cdot(1,0)=0,
então
W_{OA}=\int_{0}^{3}0\,dt=0.

Passo 3

Para o segmento A B:
parametrização \mathbf{r}(t)=(3,t), 0\le t\le3.
Então
d\mathbf{r}=(0,1)\,dt,
e
\mathbf{F}=(x^{2}+y^{2})\,\mathbf{j}=(0,\,3^{2}+t^{2})=(0,\,9+t^{2}).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(0,9+t^{2})\cdot(0,1)=9+t^{2}.
Integramos:
W_{AB}=\int_{0}^{3}(9+t^{2})\,dt =\Bigl[9t+\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{3} =27+9=36.

Passo 4

O trabalho total é a soma
W=W_{OA}+W_{AB}=0+36=36.

Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo de C é 36.

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