Responda as perguntas a seguir:
(a) O que é um campo vetorial conservativo?
(b) O que é uma função potencial de um campo vetorial?
(c) Como é definido o rotacional de um campo vetorial?
(d) É possível usar o rotacional para classificar o campo vetorial como conservativo?
(a) O que é um campo vetorial conservativo?
(b) O que é uma função potencial de um campo vetorial?
(c) Como é definido o rotacional de um campo vetorial?
(d) É possível usar o rotacional para classificar o campo vetorial como conservativo?
Passo 1
O enunciado pede definições e conexões entre campo vetorial conservativo, função potencial, rotacional e o uso deste último para identificar se um campo é conservativo. O conteúdo envolve cálculo vetorial em
ou
, especialmente conceitos de campo gradiente, integrais de linha e operador rotacional.
Passo 2
Um campo vetorial
é dito conservativo quando a integral de linha de
entre dois pontos independe do caminho escolhido. Equivalentemente, para qualquer curva suave
que vá de
a
,
depende apenas de
e
, não de
. Em particular, isso implica que a integral ao longo de qualquer laço fechado é zero.
Passo 3
Uma função potencial de um campo vetorial
é uma função escalar
tal que
Isto significa que cada componente de
vem da derivada parcial de
:
. Se
admite
, então
é conservativo e vice-versa (sob hipóteses de regularidade e domínio adequado).
Passo 4
O rotacional (ou curl) de um campo vetorial
em
é definido por
Em
, para
, costuma-se definir um escalar
Passo 5
Em um domínio simplesmente conexo e com
suficientemente suave, vale o teorema clássico:
Assim, verificar que o rotacional de
é o vetor nulo garante (e em domínios adequados é garantido por) que
admite potencial e é conservativo.
Resposta
(a) Um campo vetorial é conservativo quando sua integral de linha entre dois pontos independe do caminho, ou seja, integrais em laços fechados valem zero.
(b) Uma função potencial de é um escalar
tal que
.
(c) O rotacional de é
(b) Uma função potencial de
(c) O rotacional de
(d) Sim. Em um domínio simplesmente conexo e para campos suaves,
é conservativo se e somente se
.