Responda as perguntas a seguir:
(a) O que é um campo vetorial conservativo?
(b) O que é uma função potencial de um campo vetorial?
(c) Como é definido o rotacional de um campo vetorial?
(d) É possível usar o rotacional para classificar o campo vetorial como conservativo?

Passo 1

O enunciado pede definições e conexões entre campo vetorial conservativo, função potencial, rotacional e o uso deste último para identificar se um campo é conservativo. O conteúdo envolve cálculo vetorial em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3, especialmente conceitos de campo gradiente, integrais de linha e operador rotacional.

Passo 2

Um campo vetorial \mathbf{F} é dito conservativo quando a integral de linha de \mathbf{F} entre dois pontos independe do caminho escolhido. Equivalentemente, para qualquer curva suave \gamma que vá de A a B,
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
depende apenas de A e B, não de \gamma. Em particular, isso implica que a integral ao longo de qualquer laço fechado é zero.

Passo 3

Uma função potencial de um campo vetorial \mathbf{F} é uma função escalar \varphi tal que
\mathbf{F} = \nabla \varphi.
Isto significa que cada componente de \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) vem da derivada parcial de \varphi: F_i=\partial \varphi/\partial x_i. Se \mathbf{F} admite \varphi, então \mathbf{F} é conservativo e vice-versa (sob hipóteses de regularidade e domínio adequado).

Passo 4

O rotacional (ou curl) de um campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) em \mathbb{R}^3 é definido por
\nabla\times \mathbf{F} = \Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\, \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\, \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr).
Em \mathbb{R}^2, para \mathbf{F}=(F_1,F_2), costuma-se definir um escalar
\bigl(\nabla\times \mathbf{F}\bigr)\cdot \mathbf{k} = \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}.

Passo 5

Em um domínio simplesmente conexo e com \mathbf{F} suficientemente suave, vale o teorema clássico:
\mathbf{F} \text{ é conservativo} \quad\Longleftrightarrow\quad \nabla\times \mathbf{F} = \mathbf{0}.é
Assim, verificar que o rotacional de \mathbf{F} é o vetor nulo garante (e em domínios adequados é garantido por) que \mathbf{F} admite potencial e é conservativo.

Resposta

(a) Um campo vetorial é conservativo quando sua integral de linha entre dois pontos independe do caminho, ou seja, integrais em laços fechados valem zero.
(b) Uma função potencial de \mathbf{F} é um escalar \varphi tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi.
(c) O rotacional de \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) é
\nabla\times \mathbf{F} = \Bigl(\tfrac{\partial F_3}{\partial y}-\tfrac{\partial F_2}{\partial z},\; \tfrac{\partial F_1}{\partial z}-\tfrac{\partial F_3}{\partial x},\; \tfrac{\partial F_2}{\partial x}-\tfrac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr).
(d) Sim. Em um domínio simplesmente conexo e para campos suaves, \mathbf{F} é conservativo se e somente se \nabla\times \mathbf{F}=\mathbf{0}.

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