- (*) Denote por
o ângulo que o vetor (
) faz com o eixo
.
(a) Mostre que
.
(b) É possível definir a função
em todo
? Compare com o exercício 1.
(a) Mostre que
(b) É possível definir a função
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o gradiente de
, onde é o ângulo formado pelo vetor com o eixo . - Verificar se dá para definir
de modo contínuo em todo e comparar com o exercício 1.
Para (a) vamos usar a definiçãoe a regra da cadeia. Para (b) usamos um argumento topológico sobre domínio não simplesmente conexo e múltipla‐valência do ângulo.
Passo 2
Definimos
então
Pela regra da cadeia,
Como
temos já os elementos para cada derivada parcial.
Passo 3
Substituindo em cada fórmula:
Logo o gradiente é
Passo 4
Para (b), observe que
é naturalmente múltipla‐valorada: se você percorre uma volta em torno da origem,
aumenta de
. O domínio
não é simplesmente conexo, então não existe escolha contínua única de
em todo esse domínio (sempre esbarramos num salto de
). É preciso retirar também uma semi‐reta (um “corte de ramo”) para obter um domínio simplesmente conexo onde
seja bem definida e contínua. Isso é exatamente o mesmo fenômeno que apareceu no exercício 1 (onde vimos que o potencial só existe se o domínio for simplesmente conexo, como no caso do logaritmo complexo).
Resposta
(a)
(b) Não é possível definir de forma contínua em todo
sem um corte de ramo, pelo mesmo motivo de múltipla‐valência e domínio não simplesmente conexo visto no exercício 1.
(b) Não é possível definir