1. (*) Denote por \theta(x, y) o ângulo que o vetor ( x, y ) faz com o eixo x.
    (a) Mostre que \nabla \theta(x, y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{j}.
    (b) É possível definir a função \theta em todo \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} ? Compare com o exercício 1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o gradiente de \theta(x,y), onde \theta(x,y) é o ângulo formado pelo vetor (x,y) com o eixo x.
  2. Verificar se dá para definir \theta de modo contínuo em todo \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e comparar com o exercício 1.
    Para (a) vamos usar a definição \theta(x,y)=\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) e a regra da cadeia. Para (b) usamos um argumento topológico sobre domínio não simplesmente conexo e múltipla‐valência do ângulo.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=\frac{y}{x},
então
\theta(x,y)=\arctan\bigl(u(x,y)\bigr).
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial \theta}{\partial x} =\frac{1}{1+u^2}\,\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial \theta}{\partial y} =\frac{1}{1+u^2}\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Como
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) =-\frac{y}{x^2}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{x},
temos já os elementos para cada derivada parcial.

Passo 3

Substituindo em cada fórmula:
\frac{\partial \theta}{\partial x} =\frac{1}{1+(y/x)^2}\,\Bigl(-\frac{y}{x^2}\Bigr) =-\frac{y}{x^2+y^2},
\frac{\partial \theta}{\partial y} =\frac{1}{1+(y/x)^2}\,\frac{1}{x} =\frac{x}{x^2+y^2}.
Logo o gradiente é
\nabla \theta(x,y) =\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,\mathbf{i} +\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,\mathbf{j}.

Passo 4

Para (b), observe que \theta é naturalmente múltipla‐valorada: se você percorre uma volta em torno da origem, \theta aumenta de 2\pi. O domínio \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} não é simplesmente conexo, então não existe escolha contínua única de \theta em todo esse domínio (sempre esbarramos num salto de 2\pi). É preciso retirar também uma semi‐reta (um “corte de ramo”) para obter um domínio simplesmente conexo onde \theta seja bem definida e contínua. Isso é exatamente o mesmo fenômeno que apareceu no exercício 1 (onde vimos que o potencial só existe se o domínio for simplesmente conexo, como no caso do logaritmo complexo).

Resposta

(a) \displaystyle \nabla \theta(x,y) =\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,\mathbf{i} +\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,\mathbf{j}.
(b) Não é possível definir \theta de forma contínua em todo \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} sem um corte de ramo, pelo mesmo motivo de múltipla‐valência e domínio não simplesmente conexo visto no exercício 1.

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