Considere \mathbf{F}(x, y)=\frac{-3 y}{9 x^{2}+y^{2}} \mathbf{i}+\frac{3 x}{9 x^{2}+y^{2}} \mathbf{j}.
Calcule \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} d l, onde C é a elipse 9 x^{2}+y^{2}=1 percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha fechado \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{t}\,dl
onde \mathbf{F}(x,y)=\frac{-3y}{9x^2+y^2}\,\mathbf{i}+\frac{3x}{9x^2+y^2}\,\mathbf{j}
e C é a elipse 9x^2+y^2=1 orientada no sentido anti‐horário.
Para resolver, vamos parametrizar a elipse e calcular diretamente \int_{0}^{2\pi}\mathbf{F}(r(t))\cdot r'(t)\,dt.

Passo 2

Escolhemos a parametrização padrão da elipse
r(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{3}\cos t,\;\sin t\Bigr), \quad t\in[0,2\pi].
Então
r'(t)=\Bigl(-\tfrac{1}{3}\sin t,\;\cos t\Bigr).

Passo 3

No ponto r(t), o denominador de \mathbf{F} é
9x(t)^2+y(t)^2 =9\bigl(\tfrac{1}{3}\cos t\bigr)^2+(\sin t)^2 =\cos^2t+\sin^2t=1.
Logo
\mathbf{F}\bigl(r(t)\bigr) =\bigl(-3y(t),\,3x(t)\bigr) =\bigl(-3\sin t,\;3\cdot\tfrac{1}{3}\cos t\bigr) =\bigl(-3\sin t,\;\cos t\bigr).

Passo 4

Calculamos o produto escalar
\mathbf{F}(r(t))\cdot r'(t) =(-3\sin t)\Bigl(-\tfrac{1}{3}\sin t\Bigr) +(\cos t)(\cos t) =\sin^2t+\cos^2t=1.

Passo 5

Finalmente,
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{t}\,dl =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi.

Resposta

\displaystyle 2\pi

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