Considere o campo vetorial
.
(a) O campo
, definido em todo plano
, é conservativo? Justifique sua resposta.
Se sim, encontre uma função
tal que
.
(b) Calcule o trabalho que o campo de forças
realiza em uma partícula que se desloca uma volta no círculo
no sentido anti-horário começando e terminando no ponto
.
(a) O campo
(b) Calcule o trabalho que o campo de forças
Passo 1
O enunciado pede duas coisas.
(a) Determinar se o campo vetorial , definido em todo
, é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial
tal que
.
(b) Calcular o trabalho realizado por ao deslocar uma partícula uma volta no círculo
no sentido anti-horário, começando e terminando em
.
(a) Determinar se o campo vetorial
(b) Calcular o trabalho realizado por
Informações relevantes dadas:
com
e
.
A curva considerada em (b) é o círculo unitário orientado no sentido anti-horário (contrário às horas), começando em
.
A curva considerada em (b) é o círculo unitário
Passo 2
O que significa ser conservativo e qual teste usamos? Vou explicar passo a passo.
Definição prática: um campo vetorial
é conservativo em uma região se existe uma função escalar
(chamada potencial) tal que
Isto implica que
e
.
Critério prático (condição de igualdade das derivadas parciais): se
e
têm derivadas contínuas em uma região simplesmente conexa (como
), então um teste necessário e suficiente para conservatividade é
Aqui eu explico o porquê intuitivamente: derivando
em relação a
dá
; derivando
em relação a
dá
. Se
é suficientemente suave,
, logo
. Em domínio simplesmente conexo isso também garante existência de
.
Passo 3
Aplicando o teste ao nosso campo. Lembre que
e
.
Calcule
e
Como
, a condição não é satisfeita.
Passo 4
Conclusão sobre (a). Como o campo falha no teste das derivadas parciais e o domínio é
(que é simplesmente conexo), não existe uma função potencial
definida globalmente em
tal que
. Logo,
não é conservativo.
Observação didática curta: geometricamente,
é sempre ortogonal ao vetor radial
(veja que
), portanto tende a gerar circulação ao redor da origem — isto já sugere que integrais fechadas podem ser não nulas.
Passo 5
Agora a parte (b): calcular o trabalho ao longo do círculo unitário no sentido anti-horário. Vou mostrar dois métodos: (I) parametrização da curva (método direto, básico) e (II) uso do Teorema de Green (uma verificação alternativa). Primeiro o método (I).
Fórmula do trabalho (integral de linha): se
é parametrizada por
,
, então
Para o círculo unitário orientado anti-horário, a parametrização padrão é
que começa em
quando
e dá uma volta completa até
.
Passo 6
Calcule
e
.
Substituindo
em
:
Agora o produto escalar:
Calcule termo a termo:
Como
, isto simplifica para
Passo 7
Integre no intervalo
:
Portanto o trabalho realizado ao dar uma volta no sentido anti-horário é
.
Passo 8
Verificação alternativa (método II) usando o Teorema de Green, útil para reforçar o conceito:
Teorema de Green (forma de circulação): se
é a fronteira positiva (anti-horário) de uma região
no plano e
têm derivadas contínuas, então
No nosso caso
. A região
é o disco unitário de área
. Então
coincidindo com o resultado por parametrização.
Resposta
(a) Não,
não é conservativo.
(b)
(b)