Considere o campo vetorial
.
(a) O campo
, definido em todo plano
, é conservativo? Justifique sua resposta.
Se sim, encontre uma função
tal que
.
(b) Calcule o trabalho que o campo de forças
realiza em uma partícula que se desloca desde
até ( 0,1 ) ao longo do arco do círculo
no sentido anti-horário.
(a) O campo
(b) Calcule o trabalho que o campo de forças
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar se o campo vetorial definido em todo
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
(b) Calcular o trabalho realizado por ao mover uma partícula de
até
seguindo o arco do círculo
no sentido anti-horário.
(a) Determinar se o campo vetorial
(b) Calcular o trabalho realizado por
Informações dadas que vamos usar:
com
e
.
O domínio do campo é todo o plano .
O domínio do campo é todo o plano
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais necessárias para testar conservatividade. Para um campo
definido num domínio com derivadas parciais contínuas, uma condição necessária (e suficiente quando o domínio é simplesmente conexo, como
) de ser conservativo é
Vamos calcular essas derivadas explicitamente.
Passo 3
Calcular
. Como
, derivando em relação a
temos
Expliquei: derive termo a termo; a derivada de
em relação a
é
; a derivada de
em relação a
é
porque
é tratado como constante.
Passo 4
Calcular
. Como
, derivando em relação a
obtemos
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
; a de
é
; a constante
some.
Passo 5
Comparando os resultados dos passos anteriores:
Como as derivadas parciais são contínuas e o domínio é todo
, que é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo. (Intuição: não há “buracos” no domínio e as condições de igualdade das mistas garantem existência de potencial.)
Passo 6
Agora vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa
Método padrão: integramos
em relação a
e depois ajustamos com uma função de
.
Passo 7
Integrar
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
. Expliquei: trate
como constante ao integrar em
;
e
.
Passo 8
Determinar
usando a condição sobre
. Calcule
a partir da expressão encontrada:
Comparar com
. Assim,
Integrando
obtemos
, com
constante real.
Passo 9
Logo uma função potencial (podemos escolher a constante
para simplicidade) é
Confirmando:
e
, ok.
Passo 10
Para calcular o trabalho do campo ao longo do arco do círculo do ponto inicial
até o ponto final
no sentido anti-horário, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos (Teorema da integral de linha para gradientes): se
, então a integral de linha ao longo de qualquer curva
de
a
vale
. Assim o trabalho é
Passo 11
Calcular
nos pontos (usando a
com
):
Portanto
Intuição final: como o campo é conservativo, o trabalho depende só dos pontos inicial e final e não do arco seguido; aqui resulta
.
Resposta
(a) Sim.
(até constante).
(b)
(b)