Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=\left\langle 3 y^{2}+2 x y, 6 x y+x^{2}+1\right\rangle.
(a) O campo \mathbf{F}, definido em todo plano \mathbb{R}^{2}, é conservativo? Justifique sua resposta.
Se sim, encontre uma função \varphi tal que \mathbf{F}=\nabla \varphi.
(b) Calcule o trabalho que o campo de forças \mathbf{F} realiza em uma partícula que se desloca desde (1,0) até ( 0,1 ) ao longo do arco do círculo x^{2}+y^{2}=1 no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar se o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=\langle 3y^{2}+2xy,\;6xy+x^{2}+1\rangle definido em todo \mathbb{R}^{2} é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi.
(b) Calcular o trabalho realizado por \mathbf{F} ao mover uma partícula de (1,0) até (0,1) seguindo o arco do círculo x^{2}+y^{2}=1 no sentido anti-horário.
Informações dadas que vamos usar:
\mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle com P(x,y)=3y^{2}+2xy e Q(x,y)=6xy+x^{2}+1.
O domínio do campo é todo o plano \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais necessárias para testar conservatividade. Para um campo \mathbf{F}=\langle P,Q\rangle definido num domínio com derivadas parciais contínuas, uma condição necessária (e suficiente quando o domínio é simplesmente conexo, como \mathbb{R}^{2}) de ser conservativo é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Vamos calcular essas derivadas explicitamente.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=3y^{2}+2xy, derivando em relação a y temos
\frac{\partial P}{\partial y}=6y+2x.
Expliquei: derive termo a termo; a derivada de 3y^{2} em relação a y é 6y; a derivada de 2xy em relação a y é 2x porque x é tratado como constante.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=6xy+x^{2}+1, derivando em relação a x obtemos
\frac{\partial Q}{\partial x}=6y+2x.
Expliquei: a derivada de 6xy em relação a x é 6y; a de x^{2} é 2x; a constante 1 some.

Passo 5

Comparando os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial P}{\partial y}=6y+2x=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Como as derivadas parciais são contínuas e o domínio é todo \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf{F} é conservativo. (Intuição: não há “buracos” no domínio e as condições de igualdade das mistas garantem existência de potencial.)

Passo 6

Agora vamos encontrar a função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Isso significa
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=3y^{2}+2xy \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=6xy+x^{2}+1.
Método padrão: integramos \partial\varphi/\partial x em relação a x e depois ajustamos com uma função de y.

Passo 7

Integrar \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x}=3y^{2}+2xy em relação a x:
\varphi(x,y)=\int (3y^{2}+2xy)\,dx = 3y^{2}x + x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y. Expliquei: trate y como constante ao integrar em x; \int 3y^{2}\,dx = 3y^{2}x e \int 2xy\,dx = x^{2}y.

Passo 8

Determinar h(y) usando a condição sobre \partial\varphi/\partial y. Calcule \partial\varphi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3y^{2}x + x^{2}y + h(y)\big)=6xy + x^{2} + h'(y).
Comparar com Q(x,y)=6xy+x^{2}+1. Assim,
6xy + x^{2} + h'(y)=6xy + x^{2} + 1 \quad\Rightarrow\quad h'(y)=1.
Integrando h'(y)=1 obtemos h(y)=y+C, com C constante real.

Passo 9

Logo uma função potencial (podemos escolher a constante C=0 para simplicidade) é
\varphi(x,y)=3xy^{2}+x^{2}y+y.
Confirmando: \partial\varphi/\partial x=3y^{2}+2xy=P e \partial\varphi/\partial y=6xy+x^{2}+1=Q, ok.

Passo 10

Para calcular o trabalho do campo ao longo do arco do círculo do ponto inicial (1,0) até o ponto final (0,1) no sentido anti-horário, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos (Teorema da integral de linha para gradientes): se \mathbf{F}=\nabla\varphi, então a integral de linha ao longo de qualquer curva \gamma de A a B vale \varphi(B)-\varphi(A). Assim o trabalho é
W=\varphi(0,1)-\varphi(1,0).

Passo 11

Calcular \varphi nos pontos (usando a \varphi com C=0):
\varphi(0,1)=3\cdot 0\cdot 1^{2} + 0^{2}\cdot 1 + 1 = 1,
\varphi(1,0)=3\cdot 1\cdot 0^{2} + 1^{2}\cdot 0 + 0 = 0.
Portanto
W=\varphi(0,1)-\varphi(1,0)=1-0=1.
Intuição final: como o campo é conservativo, o trabalho depende só dos pontos inicial e final e não do arco seguido; aqui resulta 1.

Resposta

(a) Sim. \varphi(x,y)=3xy^{2}+x^{2}y+y (até constante).
(b) 1

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