Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
Calcule todos os valores possíveis de \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{dr}, onde C é uma curva simples fechada de classe \mathrm{C}^{1}. (Resp.: 0,
-2 \pi, 2 \pi.)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\biggl(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\biggr)
e pede todos os valores possíveis de
\displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}
para curvas simples, fechadas e de classe C^{1}.
O conteúdo é integração de campos vetoriais em domínios não simplesmente conexos e vamos usar o cálculo do rotacional e o índice de curva (winding number).

Passo 2

Calcular o rotacional de \mathbf{F}=(P,Q) em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}.
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\biggr) =\frac{(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\biggl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\biggr) =\frac{2y^{2}-(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo o rotacional \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0.

Passo 3

Como o domínio \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\} não é simplesmente conexo, \mathbf{F} é localmente conservativo, mas não globalmente exato. A integral de linha ao redor de C depende do índice (winding number) n de C em torno da origem.

Passo 4

Sabe-se que
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =2\pi\,n,
onde n\in\mathbb{Z} é o número de voltas que C dá em torno de (0,0), contado com sinal (positivo para sentido anti-horário).

Passo 5

Como C é simples e fechada, só pode envolver a origem 0 vezes (fora), 1 vez no sentido anti-horário ou 1 vez no sentido horário. Portanto
n\in\{-1,\,0,\,1\}.

Passo 6

Substituindo em \displaystyle 2\pi n, os valores possíveis de \oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} são
2\pi\cdot(-1)=-2\pi,\quad 2\pi\cdot0=0,\quad 2\pi\cdot1=2\pi.

Resposta

0, -2\pi, 2\pi.

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