Considere o campo vetorial
.
Calcule todos os valores possíveis de
, onde
é uma curva simples fechada de classe
. (Resp.: 0,
-2 \pi, 2 \pi.)
Calcule todos os valores possíveis de
-2 \pi, 2 \pi.)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede todos os valores possíveis de
para curvas simples, fechadas e de classe .
O conteúdo é integração de campos vetoriais em domínios não simplesmente conexos e vamos usar o cálculo do rotacional e o índice de curva (winding number).
para curvas simples, fechadas e de classe
O conteúdo é integração de campos vetoriais em domínios não simplesmente conexos e vamos usar o cálculo do rotacional e o índice de curva (winding number).
Passo 2
Calcular o rotacional de
em
.
Logo o rotacional
.
Passo 3
Como o domínio
não é simplesmente conexo,
é localmente conservativo, mas não globalmente exato. A integral de linha ao redor de
depende do índice (winding number)
de
em torno da origem.
Passo 4
Sabe-se que
onde
é o número de voltas que
dá em torno de
, contado com sinal (positivo para sentido anti-horário).
Passo 5
Como
é simples e fechada, só pode envolver a origem 0 vezes (fora), 1 vez no sentido anti-horário ou 1 vez no sentido horário. Portanto
Passo 6
Substituindo em
, os valores possíveis de
são
Resposta
0,
,
.