Esboce a região de integração e calcule as integrais triplas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral tripla
Informações dadas:
- A variável
varia de a . - Para cada
, a variável varia de a . (Isto descreve o disco de raio no plano .) - Para cada
, a variável varia de até . - O integrando é
.
Passo 2
Interpretação geométrica e esboço da região (descrição para desenhar):
- A projeção da região no plano
é o disco de centro na origem e raio , pois os limites de para cada satisfazem . - A superfície inferior da região é a superfície dada por
. Essa superfície é um cone (aberto para cima) com eixo no eixo e semiângulo tal que em coordenadas cilíndricas é . - A superfície superior é o plano horizontal
. - A interseção entre cone e plano ocorre quando
, ou seja, na circunferência de raio em .
Portanto a região é o sólido limitado abaixo pelo cone, acima pelo plano , e radialmente pelo disco . Para esboçar: desenhe um cone com vértice na origem abrindo para cima e corte-o por um plano horizontal em ; o sólido é a “tampa” entre cone e plano.
Passo 3
Escolha de coordenadas e justificativa:
- Observação prática: os limites envolvem
e a projeção no plano é um disco radial. Por isso, coordenadas cilíndricas ( ) tornam a integral mais simples. - Definição de coordenadas cilíndricas (explicando cada letra):
onde é a distância ao eixo , é o ângulo polar (medido a partir do eixo ) e é a altura. - Jacobiano (fator de escala ao trocar de variáveis): ao passar de
para o elemento de volume se transforma em Explicação curta: a pequena área em vira , por isso aparece o fator .
Passo 4
Converter a integral para coordenadas cilíndricas:
- Substituições:
O elemento de volume traz mais um , então o integrando completo vira . - Limites em cilíndricas (explicação):
-
varia de até (projeção é o disco de raio ). -
varia de até para cobrir todo o disco. -
varia de (o cone) até (o plano).
-
- Assim a integral fica:
Passo 5
Integração na variável
(primeira integral a executar):
- Integrando em
sobre : o integrando não depende de , então obtemos um fator : - A integral reduz-se a
É conveniente separar as partes que dependem de e as que dependem de .
Passo 6
Avaliação do integral usando simetria trigonométrica:
- Note que
pode ser reescrito com uma identidade trigonométrica simples: Então a integral angular é - Integrando
em um período completo a dá zero porque a função tem média zero em um período inteiro: Portanto - Como o integrando total é produto de uma função de
(que integra zero) por uma função de , a integral dupla separada é zero: - Alternativa por simetria (intuição rápida): a função
é de sinal trocado se refletirmos o domínio por ou por ; como o domínio é simétrico em relação aos eixos, as contribuições positivas e negativas se cancelam — resultado zero.