Esboce a região de integração e calcule as integrais triplas.
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2} x y d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral tripla
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2} x y \, d z \, d y \, d x.
Informações dadas:
  • A variável x varia de -2 a 2.
  • Para cada x, a variável y varia de -\sqrt{4-x^{2}} a \sqrt{4-x^{2}}. (Isto descreve o disco de raio 2 no plano xy.)
  • Para cada (x,y), a variável z varia de \sqrt{x^{2}+y^{2}} até 2.
  • O integrando é x y.

Passo 2

Interpretação geométrica e esboço da região (descrição para desenhar):
  • A projeção da região no plano xy é o disco de centro na origem e raio 2, pois os limites de y para cada x satisfazem x^{2}+y^{2}\le 4.
  • A superfície inferior da região é a superfície dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Essa superfície é um cone (aberto para cima) com eixo no eixo z e semiângulo tal que em coordenadas cilíndricas é z=r.
  • A superfície superior é o plano horizontal z=2.
  • A interseção entre cone e plano ocorre quando \sqrt{x^{2}+y^{2}}=2, ou seja, na circunferência de raio 2 em z=2.
    Portanto a região é o sólido limitado abaixo pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, acima pelo plano z=2, e radialmente pelo disco x^{2}+y^{2}\le 4. Para esboçar: desenhe um cone com vértice na origem abrindo para cima e corte-o por um plano horizontal em z=2; o sólido é a “tampa” entre cone e plano.

Passo 3

Escolha de coordenadas e justificativa:
  • Observação prática: os limites envolvem x^{2}+y^{2} e a projeção no plano xy é um disco radial. Por isso, coordenadas cilíndricas ( r,\theta,z) tornam a integral mais simples.
  • Definição de coordenadas cilíndricas (explicando cada letra): x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,onde r\ge 0 é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo x) e z é a altura.
  • Jacobiano (fator de escala ao trocar de variáveis): ao passar de (x,y,z) para (r,\theta,z) o elemento de volume dV se transforma em dV = r\, dr\, d\theta\, dz.Explicação curta: a pequena área em xy vira r\,dr\,d\theta, por isso aparece o fator r.

Passo 4

Converter a integral para coordenadas cilíndricas:
  • Substituições: x y = (r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta.O elemento de volume traz mais um r, então o integrando completo vira r^{3}\cos\theta\sin\theta.
  • Limites em cilíndricas (explicação):
    • r varia de 0 até 2 (projeção é o disco de raio 2).
    • \theta varia de 0 até 2\pi para cobrir todo o disco.
    • z varia de z=r (o cone) até z=2 (o plano).
  • Assim a integral fica: \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r}^{2} r^{3}\cos\theta\sin\theta \, d z \, d r \, d\theta.

Passo 5

Integração na variável z (primeira integral a executar):
  • Integrando em z sobre \int_{r}^{2} r^{3}\cos\theta\sin\theta \, dz: o integrando não depende de z, então obtemos um fator (2-r): \int_{r}^{2} r^{3}\cos\theta\sin\theta \, d z = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,(2-r).
  • A integral reduz-se a \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,(2-r)\, d r \, d\theta.É conveniente separar as partes que dependem de \theta e as que dependem de r.

Passo 6

Avaliação do integral usando simetria trigonométrica:
  • Note que \cos\theta\sin\theta pode ser reescrito com uma identidade trigonométrica simples: \cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta).Então a integral angular é \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta \, d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\, d\theta.
  • Integrando \sin(2\theta) em um período completo 0 a 2\pi dá zero porque a função \sin(2\theta) tem média zero em um período inteiro: \int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\, d\theta = 0.Portanto \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta \, d\theta = 0.
  • Como o integrando total é produto de uma função de \theta (que integra zero) por uma função de r, a integral dupla separada é zero: \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}(2-r)\cos\theta\sin\theta \, d r \, d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta \, d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r^{3}(2-r)\, dr\right) = 0\cdot\Big(\cdots\Big)=0.
  • Alternativa por simetria (intuição rápida): a função x y é de sinal trocado se refletirmos o domínio por x\mapsto -x ou por y\mapsto -y; como o domínio é simétrico em relação aos eixos, as contribuições positivas e negativas se cancelam — resultado zero.

Resposta

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