Esboce a região de integração e calcule as integrais triplas.
\int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3} d z d y d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral tripla
\int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3} \,dz\,dy\,dx.
Informações dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}.
  • As variáveis possuem os limites:
    \;0\le x\le 3,\;0\le y\le \sqrt{9-x^{2}},\;0\le z\le \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}.
  • Esses limites descrevem um domínio no espaço tridimensional (não há figura enviada, mas os limites já definem a região).

Passo 2

Interpretação geométrica da região (esboço mental / instruções para desenhar):
  • A desigualdade z\le \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} equivalemente diz x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9, ou seja, pontos dentro da esfera de raio 3 centrada na origem.
  • Os limites x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0 (porque as integrais começam em 0) indicam que ficamos no “primeiro octante” (a parte da esfera com coordenadas positivas).
  • Para esboçar: desenhe a esfera de raio 3, trace os eixos x,y,z positivos e sombreie a fatia da esfera onde todos são positivos — é um oitavo da esfera inteira.

Passo 3

Escolha do método de resolução:
  • Para integrais sobre regiões esféricas/parte de esfera e com integrando que depende de x^{2}+y^{2}+z^{2}, é muito eficiente usar coordenadas esféricas. Aqui o integrando é uma função radial (depende só de x^{2}+y^{2}+z^{2}), então coordenadas esféricas simplificam bastante.
  • Não foi exigido um método específico no enunciado, então adotamos coordenadas esféricas por serem as mais naturais e leves para esta integral.

Passo 4

Recordando coordenadas esféricas e jacobiano (aula rápida):
  • Usamos a convenção x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,onde \rho\ge0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo, e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
  • O elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • O integrando transforma-se usando \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}\;, logo \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}=(\rho^{2})^{3}=\rho^{6}.

Passo 5

Determinação dos limites nas coordenadas esféricas:
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 vira \rho\le 3, ou seja \rho\in[0,3].
  • Como z\ge 0 temos \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (ângulos polares do eixo z até o plano xy).
  • Como x\ge 0 e y\ge 0 no plano xy, o ângulo azimutal fica em \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (primeiro quadrante no plano xy).
  • Portanto os limites são \rho\in[0,3],\\ \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\\ \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 6

Escrevendo a integral em coordenadas esféricas:
  • Substituindo integrando e jacobiano obtemos a integral iterada \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{3} \rho^{6}\cdot \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} \rho^{8}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 7

Cálculo da integral na variável \rho:
  • Integramos \rho^{8} em relação a \rho: \int_{0}^{3}\rho^{8}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{9}}{9}\right|_{0}^{3}=\frac{3^{9}}{9}.
  • Simplificando \frac{3^{9}}{9}=\frac{3^{9}}{3^{2}}=3^{7}. Como 3^{7}=2187, temos \int_{0}^{3}\rho^{8}\,d\rho=2187.

Passo 8

Cálculo das integrais em \varphi e \theta e multiplicação final:
  • A integral em \varphi é \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi/2}=-(0-1)=1.
  • A integral em \theta é \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
  • Multiplicando tudo: 2187\times 1 \times \frac{\pi}{2}=\frac{2187\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{2187\pi}{2}

Exercícios relacionados