Esboce a região de integração e calcule as integrais triplas. \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3} d z d y d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral tripla
O integrando é \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}.
As variáveis possuem os limites: \;0\le x\le 3,\;0\le y\le \sqrt{9-x^{2}},\;0\le z\le \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}.
Esses limites descrevem um domínio no espaço tridimensional (não há figura enviada, mas os limites já definem a região).
Passo 2
Interpretação geométrica da região (esboço mental / instruções para desenhar):
A desigualdade z\le \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} equivalemente diz x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9, ou seja, pontos dentro da esfera de raio 3 centrada na origem.
Os limites x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0 (porque as integrais começam em 0) indicam que ficamos no “primeiro octante” (a parte da esfera com coordenadas positivas).
Para esboçar: desenhe a esfera de raio 3, trace os eixos x,y,z positivos e sombreie a fatia da esfera onde todos são positivos — é um oitavo da esfera inteira.
Passo 3
Escolha do método de resolução:
Para integrais sobre regiões esféricas/parte de esfera e com integrando que depende de x^{2}+y^{2}+z^{2}, é muito eficiente usar coordenadas esféricas. Aqui o integrando é uma função radial (depende só de x^{2}+y^{2}+z^{2}), então coordenadas esféricas simplificam bastante.
Não foi exigido um método específico no enunciado, então adotamos coordenadas esféricas por serem as mais naturais e leves para esta integral.
Passo 4
Recordando coordenadas esféricas e jacobiano (aula rápida):
Usamos a convençãox=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,onde \rho\ge0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo, e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
O elemento de volume édV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
O integrando transforma-se usando \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}\;, logo\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}=(\rho^{2})^{3}=\rho^{6}.
Passo 5
Determinação dos limites nas coordenadas esféricas:
A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 vira \rho\le 3, ou seja \rho\in[0,3].
Como z\ge 0 temos \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (ângulos polares do eixo z até o plano xy).
Como x\ge 0 e y\ge 0 no plano xy, o ângulo azimutal fica em \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (primeiro quadrante no plano xy).
Portanto os limites são \rho\in[0,3],\\ \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\\ \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Passo 6
Escrevendo a integral em coordenadas esféricas:
Substituindo integrando e jacobiano obtemos a integral iterada\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{3} \rho^{6}\cdot \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} \rho^{8}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Passo 7
Cálculo da integral na variável \rho:
Integramos \rho^{8} em relação a \rho:\int_{0}^{3}\rho^{8}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{9}}{9}\right|_{0}^{3}=\frac{3^{9}}{9}.
Simplificando \frac{3^{9}}{9}=\frac{3^{9}}{3^{2}}=3^{7}. Como 3^{7}=2187, temos\int_{0}^{3}\rho^{8}\,d\rho=2187.
Passo 8
Cálculo das integrais em \varphi e \theta e multiplicação final:
A integral em \varphi é\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi/2}=-(0-1)=1.
A integral em \theta é\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.