Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=\left\langle 2 x y^{3}, 3 x^{2} y^{2}\right\rangle
(a) Confirme que o campo \mathbf{F} é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial \varphi para \mathbf{F}.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo campo \mathbf{F} em uma partícula que se move de P(-3,0) até Q(4,1) ao longo de uma curva lisa arbitrária de P até Q.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=\langle 2xy^{3},\,3x^{2}y^{2}\rangle e pede duas coisas:
  1. (a) Confirmar que \mathbf{F} é conservativo em todo o plano e encontrar uma função potencial \varphi para \mathbf{F}.
  2. (b) Calcular o trabalho realizado por \mathbf{F} quando uma partícula vai de P(-3,0) até Q(4,1) ao longo de qualquer curva lisa que ligue P a Q.
Informações relevantes do enunciado: os componentes do campo são M(x,y)=2xy^{3} (componente x) e N(x,y)=3x^{2}y^{2} (componente y); os pontos inicial e final são P(-3,0) e Q(4,1); a curva é arbitrária e lisa (isto sugere que, se o campo for conservativo, o trabalho será independente do caminho).

Passo 2

O que significa um campo ser conservativo e como confirmar isso (aulas rápidas e claras):
  • Um campo vetorial em duas variáveis \mathbf{F}=\langle M(x,y),N(x,y)\rangle é dito conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) (chamada função potencial) tal que
\mathbf{F}=\nabla \varphi=\left\langle \frac{\partial \varphi}{\partial x},\,\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right\rangle.
  • Uma condição prática (muito usada em provas) para campos definidos e com derivadas parciais contínuas é checar se as derivadas cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso for verdade e o domínio for simplesmente conexo (o plano inteiro \mathbb{R}^2 é simplesmente conexo), então \mathbf{F} é conservativo. Vou aplicar essa verificação e depois mostrar como obter \varphi explicitamente integrando componentes (método padrão): integrar M em x e ajustar com uma função “constante” em y, ou integrar N em y e ajustar com função de x.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais relevantes para testar a condição de igualdade:
  • Primeiro identifique M e N:
M(x,y)=2xy^{3},\qquad N(x,y)=3x^{2}y^{2}.
  • Calcule \dfrac{\partial M}{\partial y}:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x y^{3}\big)=2x\cdot 3y^{2}=6x y^{2}.
  • Calcule \dfrac{\partial N}{\partial x}:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}y^{2}\big)=3\cdot 2x\cdot y^{2}=6x y^{2}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=6x y^{2} e as derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}, e o domínio (o plano) é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf{F} é conservativo em todo o plano. (Confirmação feita.)

Passo 4

Encontrar a função potencial \varphi passo a passo (método de integração):
  • Sabendo que \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=M(x,y)=2x y^{3}, integramos em relação a x mantendo y como constante:
\varphi(x,y)=\int 2x y^{3}\,dx = y^{3}\int 2x\,dx = y^{3}\cdot x^{2} + C(y) = x^{2}y^{3} + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Agora usamos a outra relação \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=N(x,y)=3x^{2}y^{2}. Calcule \dfrac{\partial}{\partial y} da expressão obtida:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}+C(y)\big)=x^{2}\cdot 3y^{2} + C'(y)=3x^{2}y^{2}+C'(y).
  • Igualando essa derivada a N(x,y)=3x^{2}y^{2} obtemos 3x^{2}y^{2}+C'(y)=3x^{2}y^{2}, portanto C'(y)=0. Logo C(y) é uma constante real (independente de y).
  • Podemos então escolher a constante zero (potenciais diferem por constantes irrelevantes). Assim uma função potencial conveniente é
\varphi(x,y)=x^{2}y^{3}.
Expliquei cada passo de integração e por que aparece C(y); isso é o procedimento que você deve aplicar em prova sempre que tiver um campo em \mathbb{R}^2.

Passo 5

Como usar a função potencial para calcular trabalho (ideia e fórmula):
  • Para um campo conservativo, o trabalho de \mathbf{F} ao longo de qualquer curva lisa C que vá de P a Q é dado pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha (também chamado Teorema Fundamental do Cálculo para gradientes):
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(Q)-\varphi(P).
Ou seja, o trabalho depende apenas dos pontos finais, não do caminho — por isso é muito prático em prova: basta avaliar a função potencial nos pontos.

Passo 6

Aplicar a fórmula ao caso concreto P(-3,0) e Q(4,1):
  • Usei a função potencial encontrada \varphi(x,y)=x^{2}y^{3}.
  • Calcule \varphi em Q(4,1):
\varphi(4,1)=4^{2}\cdot 1^{3}=16\cdot 1=16.
  • Calcule \varphi em P(-3,0):
\varphi(-3,0)=(-3)^{2}\cdot 0^{3}=9\cdot 0=0.
  • Portanto o trabalho é
W=\varphi(Q)-\varphi(P)=16-0=16.
Mostrei as potências passo a passo ( 4^{2}=16, 1^{3}=1, (-3)^{2}=9, 0^{3}=0) para você poder replicar isso sem calculadora.

Resposta

(a) \mathbf{F} é conservativo em todo o plano e uma função potencial é \varphi(x,y)=x^{2}y^{3}.\n(b) O trabalho é W=16.

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