Considere o campo vetorial
(a) Confirme que o campo
é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial
para
.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo campo
em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária de
até
.
(a) Confirme que o campo
(b) Calcule o trabalho realizado pelo campo
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- (a) Confirmar que
é conservativo em todo o plano e encontrar uma função potencial para . - (b) Calcular o trabalho realizado por
quando uma partícula vai de até ao longo de qualquer curva lisa que ligue a .
Informações relevantes do enunciado: os componentes do campo são
(componente
) e
(componente
); os pontos inicial e final são
e
; a curva é arbitrária e lisa (isto sugere que, se o campo for conservativo, o trabalho será independente do caminho).
Passo 2
O que significa um campo ser conservativo e como confirmar isso (aulas rápidas e claras):
- Um campo vetorial em duas variáveis
é dito conservativo se existe uma função escalar (chamada função potencial) tal que
- Uma condição prática (muito usada em provas) para campos definidos e com derivadas parciais contínuas é checar se as derivadas cruzadas coincidem:
Se isso for verdade e o domínio for simplesmente conexo (o plano inteiro
é simplesmente conexo), então
é conservativo. Vou aplicar essa verificação e depois mostrar como obter
explicitamente integrando componentes (método padrão): integrar
em
e ajustar com uma função “constante” em
, ou integrar
em
e ajustar com função de
.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais relevantes para testar a condição de igualdade:
- Primeiro identifique
e :
- Calcule
:
- Calcule
:
Como
e as derivadas parciais são contínuas em todo
, e o domínio (o plano) é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo em todo o plano. (Confirmação feita.)
Passo 4
Encontrar a função potencial
passo a passo (método de integração):
- Sabendo que
, integramos em relação a mantendo como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
- Agora usamos a outra relação
. Calcule da expressão obtida:
- Igualando essa derivada a
obtemos , portanto . Logo é uma constante real (independente de ). - Podemos então escolher a constante zero (potenciais diferem por constantes irrelevantes). Assim uma função potencial conveniente é
Expliquei cada passo de integração e por que aparece
; isso é o procedimento que você deve aplicar em prova sempre que tiver um campo em
.
Passo 5
Como usar a função potencial para calcular trabalho (ideia e fórmula):
- Para um campo conservativo, o trabalho de
ao longo de qualquer curva lisa que vá de a é dado pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha (também chamado Teorema Fundamental do Cálculo para gradientes):
Ou seja, o trabalho depende apenas dos pontos finais, não do caminho — por isso é muito prático em prova: basta avaliar a função potencial nos pontos.
Passo 6
Aplicar a fórmula ao caso concreto
e
:
- Usei a função potencial encontrada
. - Calcule
em :
- Calcule
em :
- Portanto o trabalho é
Mostrei as potências passo a passo (
,
,
,
) para você poder replicar isso sem calculadora.
Resposta
(a)
é conservativo em todo o plano e uma função potencial é
.\n(b) O trabalho é
.