Considere o campo vetorial
(a) Confirme que o campo
é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial
para
.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo campo
em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária de
até
.
(a) Confirme que o campo
(b) Calcule o trabalho realizado pelo campo
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- (a) Confirmar que
é conservativo em todo o plano e encontrar uma função potencial para . - (b) Calcular o trabalho realizado por
quando uma partícula vai de até ao longo de qualquer curva lisa de até .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
com
e
.
O domínio implícito é todo o plano (nenhuma restrição foi dada).
O domínio implícito é todo o plano
Passo 2
Explico qual é o critério prático que vou usar (sem ainda aplicar): para um campo vetorial em duas dimensões
, uma forma simples de testar se ele é conservativo é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Aqui
significa: pegar
e derivar em relação a
, tratando
como constante. De modo análogo,
é a derivada parcial de
em relação a
, com
fixo. Se essa igualdade ocorrer em um domínio simplesmente conexo (como
), então existe uma função escalar
tal que
; essa
é a função potencial.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais cruzadas explicitamente para o nosso
e
.
Primeiro,
porque a derivada de
em relação a
é
.
Segundo,
pois ao derivar
em relação a
o
age como constante (dando
) e a derivada de
em relação a
é zero.
Portanto
Passo 4
Como as derivadas parciais cruzadas coincidem em todos os pontos e o domínio é o plano inteiro
, que é simplesmente conexo (não tem “buracos”), concluímos que
é conservativo em todo o plano. Em palavras mais amigáveis: não há obstruções topológicas e a condição de igualdade das parciais garante que
é gradiente de alguma função
.
Passo 5
Agora vou encontrar a função potencial
. Por definição,
deve satisfazer
Começo integrando a primeira igualdade em relação a
. Integrar
em
significa tratar
como constante e encontrar uma primitiva em
:
onde
é uma função arbitrária de
(apareceu porque a derivação em
“perde” quaisquer termos que dependam só de
).
Passo 6
Para determinar
uso a segunda condição:
deve ser igual a
. Calculo
a partir de
:
Isso tem que coincidir com
. Igualando as expressões:
Passo 7
Integro
em
:
onde
é constante arbitrária. Assim uma função potencial é
Normalmente escolhemos
para simplificar, então podemos usar
como potencial (qualquer outra constante é também válida).
Passo 8
Explico agora a ferramenta que usamos para calcular o trabalho sem integrar ao longo da curva: o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha (também chamado Teorema Fundamental para integrais de linha). Ele diz: se
numa região e
é qualquer curva lisa de
até
, então
Aqui
e a integral de linha do campo vetorial se reduz à diferença de valores da função potencial entre os pontos finais. As variáveis:
é o ponto inicial,
o ponto final, e
é a função potencial que encontramos.
Passo 9
Aplicamos isso ao nosso caso: o ponto inicial é
e o final é
. Usamos
.
Calculo
em
:
Calculo
em
:
Passo 10
O trabalho (integral de linha) é a diferença
:
Resposta
(a)
é conservativo em todo
. Uma função potencial é
(podemos escolher
).
(b) O trabalho é .
(b) O trabalho é