Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=\left\langle e^{y}, x e^{y}+2 y\right\rangle
(a) Confirme que o campo \mathbf{F} é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial \varphi para \mathbf{F}.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo campo \mathbf{F} em uma partícula que se move de P(0,3) até Q(2,1) ao longo de uma curva lisa arbitrária de P até Q.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=\langle e^{y},\, x e^{y}+2y\rangle e pede duas coisas:
  1. (a) Confirmar que \mathbf{F} é conservativo em todo o plano e encontrar uma função potencial \varphi para \mathbf{F}.
  2. (b) Calcular o trabalho realizado por \mathbf{F} quando uma partícula vai de P(0,3) até Q(2,1) ao longo de qualquer curva lisa de P até Q.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),\,Q(x,y)\rangle com P(x,y)=e^{y} e Q(x,y)=x e^{y}+2y.
O domínio implícito é todo o plano \mathbb{R}^{2} (nenhuma restrição foi dada).

Passo 2

Explico qual é o critério prático que vou usar (sem ainda aplicar): para um campo vetorial em duas dimensões \mathbf{F}=\langle P,Q\rangle, uma forma simples de testar se ele é conservativo é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y} \overset{?}{=} \frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui \frac{\partial P}{\partial y} significa: pegar P(x,y) e derivar em relação a y, tratando x como constante. De modo análogo, \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x, com y fixo. Se essa igualdade ocorrer em um domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^2), então existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}; essa \varphi é a função potencial.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais cruzadas explicitamente para o nosso P e Q.
Primeiro,
P(x,y)=e^{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=e^{y},
porque a derivada de e^{y} em relação a y é e^{y}.
Segundo,
Q(x,y)=x e^{y}+2y\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{y},
pois ao derivar x e^{y} em relação a x o e^{y} age como constante (dando e^{y}) e a derivada de 2y em relação a x é zero.
Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 4

Como as derivadas parciais cruzadas coincidem em todos os pontos e o domínio é o plano inteiro \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo (não tem “buracos”), concluímos que \mathbf{F} é conservativo em todo o plano. Em palavras mais amigáveis: não há obstruções topológicas e a condição de igualdade das parciais garante que \mathbf{F} é gradiente de alguma função \varphi.

Passo 5

Agora vou encontrar a função potencial \varphi. Por definição, \varphi deve satisfazer
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=e^{y},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=x e^{y}+2y.
Começo integrando a primeira igualdade em relação a x. Integrar \frac{\partial \varphi}{\partial x}=e^{y} em x significa tratar y como constante e encontrar uma primitiva em x:
\varphi(x,y)=\int e^{y}\,dx = x e^{y} + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (apareceu porque a derivação em x “perde” quaisquer termos que dependam só de y).

Passo 6

Para determinar h(y) uso a segunda condição: \frac{\partial \varphi}{\partial y} deve ser igual a Q(x,y). Calculo \frac{\partial \varphi}{\partial y} a partir de \varphi(x,y)=x e^{y}+h(y):
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{y}\big)+h'(y)=x e^{y}+h'(y).
Isso tem que coincidir com Q(x,y)=x e^{y}+2y. Igualando as expressões:
x e^{y}+h'(y)=x e^{y}+2y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=2y.

Passo 7

Integro h'(y)=2y em y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^{2}+C,
onde C é constante arbitrária. Assim uma função potencial é
\varphi(x,y)=x e^{y}+y^{2}+C.
Normalmente escolhemos C=0 para simplificar, então podemos usar \varphi(x,y)=x e^{y}+y^{2} como potencial (qualquer outra constante é também válida).

Passo 8

Explico agora a ferramenta que usamos para calcular o trabalho sem integrar ao longo da curva: o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha (também chamado Teorema Fundamental para integrais de linha). Ele diz: se \mathbf{F}=\nabla\varphi numa região e C é qualquer curva lisa de A até B, então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Aqui d\mathbf{r}=\langle dx,dy\rangle e a integral de linha do campo vetorial se reduz à diferença de valores da função potencial entre os pontos finais. As variáveis: A é o ponto inicial, B o ponto final, e \varphi é a função potencial que encontramos.

Passo 9

Aplicamos isso ao nosso caso: o ponto inicial é P(0,3) e o final é Q(2,1). Usamos \varphi(x,y)=x e^{y}+y^{2}.
Calculo \varphi em Q(2,1):
\varphi(2,1)=2 e^{1}+1^{2}=2e+1.
Calculo \varphi em P(0,3):
\varphi(0,3)=0\cdot e^{3}+3^{2}=9.

Passo 10

O trabalho (integral de linha) é a diferença \varphi(Q)-\varphi(P):
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(2,1)-\varphi(0,3)=(2e+1)-9=2e-8.

Resposta

(a) \mathbf{F} é conservativo em todo \mathbb{R}^{2}. Uma função potencial é \varphi(x,y)=x e^{y}+y^{2}+C (podemos escolher C=0).
(b) O trabalho é \;2e-8.

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