Considere o campo vetorial
. Determine se este campo é:
(a) Conservativo
(a) Conservativo
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
A pergunta (a) é: este campo é conservativo?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- As componentes do campo são
e . - O domínio implícito é todo o plano
(não foram impostas restrições).
Passo 2
O que significa ser conservativo (explicação didática): um campo vetorial bidimensional
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
Isto quer dizer que
e
são as derivadas parciais de uma mesma função
. Em domínios simples (como
, que é simplesmente conexo — sem “buracos”), uma condição prática e muito usada é verificar se as derivadas mistas coincidem:
Se isso vale em todo o domínio e o domínio é simplesmente conexo, então
é conservativo. Isso vem da igualdade das derivadas mistas de
:
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar a condição:
Como
e
, temos
em todo
. Como o domínio é simplesmente conexo, concluímos que o campo é conservativo.
Passo 4
Agora vou mostrar como encontrar explicitamente a função potencial
— isso é útil na prova e confirma a propriedade. Método passo a passo (muito usado em provas):
- Integra-se
em relação a considerando constante: , onde é uma “constante” de integração que pode depender de . - Depois, diferencia-se a expressão obtida em relação a
e iguala-se a para encontrar . - Integra-se
para obter e, assim, .
Passo 5
Aplicando o passo 1:
onde escrevi
para lembrar que pode haver uma função de
ao integrar em
.
Passo 6
Diferencio
em relação a
e imposto que isso deve ser igual a
:
Assim obtemos
Integrando em
:
onde
é uma constante real.
Passo 7
Portanto uma função potencial é
Verificação (rápida): calcular
e
:
que coincidem com as componentes de
. Logo a verificação está completa.
Passo 8
Conclusão e observação útil para prova: como
é gradiente de
, integrais de linha de
entre dois pontos dependem apenas dos valores de
nesses pontos (independência de caminho). A potencial é determinada à constante aditiva
.
Resposta
Sim. Uma função potencial é
.