Determine e faça um esboço das seguintes funções:
f(x, y)=\ln (x+y+1)

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\supset D\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\ln(x+y+1).
O que o problema pede: “Determinar e fazer um esboço” — isto é, devemos identificar as propriedades geométricas e analíticas fundamentais que permitem desenhar/visualizar o gráfico (domínio, curvas de nível, comportamento, derivadas, possíveis pontos críticos, e uma descrição do esboço da superfície).
Informações fornecidas:
  • A expressão explícita de f é \ln(x+y+1).
  • Não há outras restrições no enunciado além desta fórmula.

Passo 2

Determinar o domínio. A função \ln(t) está definida apenas para t>0. Aqui t=x+y+1. Logo o domínio D é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
x+y+1>0.
Escrever como conjunto:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y>-1\}.
Interpretação geométrica: D é um semiplano aberto, delimitado pela reta x+y+1=0 (essa reta não pertence ao domínio). A reta tem inclinação -1 e interceptos: por exemplo, quando x=0 exige-se y>-1; quando y=0 exige-se x>-1.

Passo 3

Continuidade e diferenciabilidade. A função u\mapsto\ln u é suave ( C^\infty) para u>0. A função linear L(x,y)=x+y+1 é C^\infty. A composição de funções suaves é suave, portanto f é C^\infty em todo o domínio D. Em palavras: f é contínua e tem derivadas parciais de todas as ordens em D.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais (aqui explico a regra usada). Regra: se f(x,y)=\ln(u(x,y)) então \partial f/\partial x = \dfrac{1}{u(x,y)}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}. No nosso caso u(x,y)=x+y+1, então \partial u/\partial x=1 e \partial u/\partial y=1. Assim:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{x+y+1}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{x+y+1}.
Gradiente:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{1}{x+y+1},\;\frac{1}{x+y+1}\right).
Interpretação: as componentes iguais indicam que o aumento de f quando se varia x ou y é o mesmo, pois f depende apenas da soma x+y.

Passo 5

Pontos críticos. Pontos críticos internos ao domínio são soluções de \nabla f(x,y)=\mathbf{0}. Aqui isso exige 1/(x+y+1)=0, o que é impossível. Portanto não existem pontos críticos em D. Conclusão prática para o esboço: não há máximos ou mínimos isolados dentro do domínio — o comportamento extremo ocorre apenas ao aproximar-se da fronteira ou indo ao infinito.

Passo 6

Comportamento na fronteira e no infinito. Quando x+y+1\to 0^+ (ou seja, aproximação da reta x+y+1=0 pelo lado permitido), tem-se
f(x,y)=\ln(x+y+1)\to -\infty.
Quando x+y\to +\infty, f(x,y)\to +\infty, mas lentamente (com crescimento logarítmico). Portanto a superfície desce sem limite ao aproximar-se da reta x+y=-1 e sobe indefinidamente quando x+y cresce.

Passo 7

Segunda derivada e concavidade (uma noção útil para o esboço). Calculam-se as segundas derivadas usando a derivada de 1/(x+y+1):
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-\frac{1}{(x+y+1)^2}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=-\frac{1}{(x+y+1)^2}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=-\frac{1}{(x+y+1)^2}.
Hessiana:
H_f(x,y)=-\frac{1}{(x+y+1)^2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Matriz com autovalores 0 e -2/(x+y+1)^2\le 0, logo H_f é negativa semidefinida. Portanto f é concava no domínio (concavidade degenerada porque existe uma direção de nulidade). Intuição: não há curvatura “positiva”; a superfície é curvada para baixo na direção em que x+y varia, e é plana na direção onde x+y é constante.]

Passo 8

Curvas de nível (contornos) — que ajudam muito no esboço. Resolver \ln(x+y+1)=c (para constante real c):
x+y+1=e^{c} \quad\Longrightarrow\quad x+y=e^{c}-1.
Logo cada curva de nível é uma reta de equação x+y= constante (retas paralelas de inclinação -1). À medida que c aumenta, a reta desloca-se para valores maiores de x+y. Observação: nenhum nível corresponde a pontos na reta x+y=-1 porque isso implicaria c=-\infty.

Passo 9

Redução por variáveis coordenadas e esboço verbal da superfície. É útil mudar para coordenadas
u=x+y,\qquad v=x-y.
Então f(x,y)=\ln(u+1) depende só de u. Isso significa:
  • Para cada valor fixo de u (isto é, para cada reta x+y= constante), o valor de z=f é constante: a superfície é obtida “extrudando” o gráfico unidimensional z=\ln(u+1) ao longo da direção v.
  • Em consequência, o gráfico de f é uma superfície que tem geratrizes paralelas à direção de vetor (1,-1,0) (direção ao longo das retas x+y= constantes), e em corte pela direção ortogonal (variando u) tem a típica curva z=\ln(u+1): decai para -\infty quando u\to -1^+ e cresce para +\infty quando u\to +\infty.
Instrução prática para desenhar um esboço:
  1. No plano xy desenhar a reta limite x+y=-1 (linha tracejada). O domínio está do lado onde x+y>-1.
  2. Marcar algumas retas paralelas x+y=c para c>-1. Cada uma corresponde a uma altura z=\ln(c+1).
  3. Para cada reta x+y=c levantar a altura z=\ln(c+1) (ponto ou linha horizontal àquela altura). Repetir para várias c mostra a superfície como uma família de linhas horizontais empilhadas: quanto maior c, maior z.
  4. Traçar um corte para, por exemplo, y=0: a curva é z=\ln(x+1) com domínio x>-1 (isso é a clássica curva logarítmica), esse será o perfil da superfície na direção adequada.

Passo 10

Resumo das propriedades que aparecem no esboço (para fixar e para usar na prova):
  • Domínio: \;D=\{(x,y)\mid x+y>-1\} (semiplano).
  • Curvas de nível: retas x+y=e^{c}-1 (paralelas, inclinação -1).
  • Depende só de x+y; portanto é constante nas retas x+y= constante.
  • Não há pontos críticos em D.
  • Comportamento: f\to -\infty ao aproximar-se da reta x+y=-1 pelo domínio; f\to+\infty quando x+y\to+\infty.
  • Concavidade: f é concava no domínio (Hessiana negativa semidefinida).
  • Esboço: superfície obtida por extrusão da curva z=\ln(u+1) ao longo direção paralela às retas x+y= constante.

Resposta

Domínio: D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y>-1\}.
Curvas de nível: \ln(x+y+1)=c \Longleftrightarrow x+y=e^{c}-1 (retas paralelas de inclinação -1).
Gradiente: \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{1}{x+y+1},\dfrac{1}{x+y+1}\right) (logo sem pontos críticos em D).
Segundas derivadas: \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-\dfrac{1}{(x+y+1)^2}; Hessiana negativa semidefinida → f é concava.
Esboço: superfície que depende apenas de u=x+y; é obtida extrudando a curva z=\ln(u+1) ao longo direções paralelas a (1,-1,0). A superfície tende a -\infty quando x+y\to -1^+ e cresce lentamente para +\infty quando x+y\to+\infty.

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