Determine e faça um esboço das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que o problema pede: “Determinar e fazer um esboço” — isto é, devemos identificar as propriedades geométricas e analíticas fundamentais que permitem desenhar/visualizar o gráfico (domínio, curvas de nível, comportamento, derivadas, possíveis pontos críticos, e uma descrição do esboço da superfície).
Informações fornecidas:
- A expressão explícita de
é . - Não há outras restrições no enunciado além desta fórmula.
Passo 2
Determinar o domínio. A função
está definida apenas para
. Aqui
. Logo o domínio
é o conjunto de pontos
que satisfazem
Escrever como conjunto:
Interpretação geométrica:
é um semiplano aberto, delimitado pela reta
(essa reta não pertence ao domínio). A reta tem inclinação
e interceptos: por exemplo, quando
exige-se
; quando
exige-se
.
Passo 3
Continuidade e diferenciabilidade. A função
é suave (
) para
. A função linear
é
. A composição de funções suaves é suave, portanto
é
em todo o domínio
. Em palavras:
é contínua e tem derivadas parciais de todas as ordens em
.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais (aqui explico a regra usada). Regra: se
então
. No nosso caso
, então
e
. Assim:
Gradiente:
Interpretação: as componentes iguais indicam que o aumento de
quando se varia
ou
é o mesmo, pois
depende apenas da soma
.
Passo 5
Pontos críticos. Pontos críticos internos ao domínio são soluções de
. Aqui isso exige
, o que é impossível. Portanto não existem pontos críticos em
. Conclusão prática para o esboço: não há máximos ou mínimos isolados dentro do domínio — o comportamento extremo ocorre apenas ao aproximar-se da fronteira ou indo ao infinito.
Passo 6
Comportamento na fronteira e no infinito. Quando
(ou seja, aproximação da reta
pelo lado permitido), tem-se
Quando
,
, mas lentamente (com crescimento logarítmico). Portanto a superfície desce sem limite ao aproximar-se da reta
e sobe indefinidamente quando
cresce.
Passo 7
Segunda derivada e concavidade (uma noção útil para o esboço). Calculam-se as segundas derivadas usando a derivada de
:
Hessiana:
Matriz com autovalores
e
, logo
é negativa semidefinida. Portanto
é concava no domínio (concavidade degenerada porque existe uma direção de nulidade). Intuição: não há curvatura “positiva”; a superfície é curvada para baixo na direção em que
varia, e é plana na direção onde
é constante.]
Passo 8
Curvas de nível (contornos) — que ajudam muito no esboço. Resolver
(para constante real
):
Logo cada curva de nível é uma reta de equação
constante (retas paralelas de inclinação
). À medida que
aumenta, a reta desloca-se para valores maiores de
. Observação: nenhum nível corresponde a pontos na reta
porque isso implicaria
.
Passo 9
Redução por variáveis coordenadas e esboço verbal da superfície. É útil mudar para coordenadas
Então
depende só de
. Isso significa:
- Para cada valor fixo de
(isto é, para cada reta constante), o valor de é constante: a superfície é obtida “extrudando” o gráfico unidimensional ao longo da direção . - Em consequência, o gráfico de
é uma superfície que tem geratrizes paralelas à direção de vetor (direção ao longo das retas constantes), e em corte pela direção ortogonal (variando ) tem a típica curva : decai para quando e cresce para quando .
Instrução prática para desenhar um esboço:
- No plano
desenhar a reta limite (linha tracejada). O domínio está do lado onde . - Marcar algumas retas paralelas
para . Cada uma corresponde a uma altura . - Para cada reta
levantar a altura (ponto ou linha horizontal àquela altura). Repetir para várias mostra a superfície como uma família de linhas horizontais empilhadas: quanto maior , maior . - Traçar um corte para, por exemplo,
: a curva é com domínio (isso é a clássica curva logarítmica), esse será o perfil da superfície na direção adequada.
Passo 10
Resumo das propriedades que aparecem no esboço (para fixar e para usar na prova):
- Domínio:
(semiplano). - Curvas de nível: retas
(paralelas, inclinação ). - Depende só de
; portanto é constante nas retas constante. - Não há pontos críticos em
. - Comportamento:
ao aproximar-se da reta pelo domínio; quando . - Concavidade:
é concava no domínio (Hessiana negativa semidefinida). - Esboço: superfície obtida por extrusão da curva
ao longo direção paralela às retas constante.
Resposta
Domínio:
Curvas de nível: (retas paralelas de inclinação
).
Gradiente: (logo sem pontos críticos em
).
Segundas derivadas: ; Hessiana negativa semidefinida →
é concava.
Esboço: superfície que depende apenas de ; é obtida extrudando a curva
ao longo direções paralelas a
. A superfície tende a
quando
e cresce lentamente para
quando
.
Curvas de nível:
Gradiente:
Segundas derivadas:
Esboço: superfície que depende apenas de