Considere o campo vetorial \mathbf{F}=(2 x y+1) \mathbf{i}+\left(x^{2}\right) \mathbf{j} e a curva C parametrizada por \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+3 t^{2} \mathbf{j}, com 0 \leqslant t \leqslant 1.
(a) Mostre que
é um campo conservativo e apresente uma função potencial para
.
(b) Calcule
utilizando a função potencial.
(a) Mostre que
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva
paramatrizada por
Pede-se (a) mostrar que
é conservativo e achar uma função potencial; (b) calcular
usando essa função potencial. O conteúdo é campos conservativos e o Teorema Fundamental dos Campos Vetoriais.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, conferimos se
e
Como
e o domínio é
(simplesmente conexo),
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
satisfazendo
, integramos
em relação a
:
onde
é função só de
. Depois impomos
Logo podemos escolher
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental dos Campos Vetoriais,
Temos
e
. Então
logo
Resposta
(a)
é conservativo pois
. Uma função potencial é
(b)