Considere o campo vetorial \mathbf{F}=(2 x y+1) \mathbf{i}+\left(x^{2}\right) \mathbf{j} e a curva C parametrizada por \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+3 t^{2} \mathbf{j}, com 0 \leqslant t \leqslant 1.
(a) Mostre que \mathbf{F} é um campo conservativo e apresente uma função potencial para \mathbf{F}.
(b) Calcule \int_{C} \boldsymbol{F} \cdot d r utilizando a função potencial.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=(2xy+1)\,\mathbf{i} + (x^2)\,\mathbf{j}
e a curva C paramatrizada por
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i} + 3t^2\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le1.
Pede-se (a) mostrar que \mathbf{F} é conservativo e achar uma função potencial; (b) calcular \displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} usando essa função potencial. O conteúdo é campos conservativos e o Teorema Fundamental dos Campos Vetoriais.

Passo 2

Para verificar que \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo, conferimos se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\; \frac{\partial}{\partial y}(2xy+1) \;=\;2x,
e
\frac{\partial Q}{\partial x} \;=\; \frac{\partial}{\partial x}(x^2) \;=\;2x.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} e o domínio é \mathbb{R}^2 (simplesmente conexo), \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y) satisfazendo \nabla f=\mathbf{F}, integramos P em relação a x:
f(x,y) =\int(2xy+1)\,dx = x^2y + x + g(y),
onde g é função só de y. Depois impomos
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + g'(y) \stackrel{!}{=}Q=x^2 \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0 \;\Longrightarrow\; g(y)=\text{const}.
Logo podemos escolher
f(x,y)=x^2y + x.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental dos Campos Vetoriais,
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(\mathbf{r}(1)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr).
Temos \mathbf{r}(1)=(1,3) e \mathbf{r}(0)=(0,0). Então
f(1,3)=1^2\cdot3 + 1 = 4, \quad f(0,0)=0^2\cdot0 + 0 = 0,
logo
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=4-0=4.

Resposta

(a) \mathbf{F} é conservativo pois \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x=2x. Uma função potencial é
f(x,y)=x^2y + x.
(b) \displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=4.

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