\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, sendo \mathbf{F}=x \mathbf{j} e C dada por \mathbf{r}(t)=2 \cos t \mathbf{i}+2 \operatorname{sen} t \mathbf{j}, \operatorname{com} 0 \leqslant t \leqslant \pi.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y)=x\,\mathbf{j} e a curva C é dada pela parametrização
\mathbf{r}(t)=2\cos t\,\mathbf{i}+2\sin t\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le\pi.
Este é um problema de integral de linha de um campo vetorial em \mathbb{R}^2. Para resolver, vamos parametrizar \mathbf{F} ao longo de C, obter d\mathbf{r} e calcular o produto escalar.

Passo 2

Calculamos o vetor tangente e o diferencial de curva:
\mathbf{r}'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(2\cos t\,\mathbf{i}+2\sin t\,\mathbf{j}\bigr) =-2\sin t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j},
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d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(-2\sin t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j})\,dt.

Passo 3

Avaliamo-s \mathbf{F} ao longo de C:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =x(t)\,\mathbf{j} =2\cos t\,\mathbf{j}.
O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) =(2\cos t\,\mathbf{j})\cdot(-2\sin t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j}) =4\cos^2 t.

Passo 4

A integral de linha torna-se
\int_{0}^{\pi}4\cos^2 t\,dt.
Usando \cos^2 t=(1+\cos2t)/2, temos
\int_{0}^{\pi}4\cos^2 t\,dt =4\int_{0}^{\pi}\frac{1+\cos2t}{2}\,dt =2\int_{0}^{\pi}(1+\cos2t)\,dt =2\Bigl[t+\tfrac{1}{2}\sin2t\Bigr]_{0}^{\pi} =2\bigl(\pi-0\bigr) =2\pi.

Resposta

\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi.

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