Se f(x, y, z)=x^{2} y+y z^{2}, A=(-1,1,-1) e B=(2,4,8) então:
(a) Determine o campo vetorial \mathbf{F}=\nabla f.
(b) \boldsymbol{F} é um campo vetorial conservativo? Justifique sua resposta.
(c) Mostre que \boldsymbol{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{3} \mathbf{k}, com -1 \leqslant t \leqslant 2, descreve uma curva que une os pontos A e B.
(d) Calcule \int_{C} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}, sendo C a curva parametrizada por \mathbf{r}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{2}y + y\,z^{2},
pede (a) o campo vetorial \mathbf{F}=\nabla f, (b) verificar se \mathbf{F} é conservativo, (c) mostrar que
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i} + t^{2}\,\mathbf{j} + t^{3}\,\mathbf{k},\quad -1\le t\le2,
vai de A=(-1,1,-1) a B=(2,4,8), e (d) calcular \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Conteúdo: gradiente, condição de campo conservativo e teorema fundamental do cálculo de linhas para campos conservativos.

Passo 2

Para achar \mathbf{F}=\nabla f, calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} =2x\,y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =x^{2}+z^{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} =2y\,z.
Logo
\mathbf{F}(x,y,z) =\nabla f =\bigl(2x\,y,\;x^{2}+z^{2},\;2y\,z\bigr).

Passo 3

Um campo \mathbf{F} que é gradiente de uma função f é, por definição, conservativo em qualquer domínio simplesmente conexo. Como aqui f está definida em todo \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf{F} é conservativo. Alternativamente, poderíamos verificar que \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 4

Devemos checar que \mathbf{r}(t) une A a B. Para t=-1:
\mathbf{r}(-1) =(-1,\,(-1)^{2},\,(-1)^{3}) =(-1,1,-1)=A.
Para t=2:
\mathbf{r}(2)=(2,\,2^{2},\,2^{3})=(2,4,8)=B.
Assim, \mathbf{r}(t) é uma curva de A até B.

Passo 5

Como \mathbf{F} é conservativo, vale o teorema fundamental do cálculo de linha:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(\mathbf{r}(2)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(-1)\bigr) = f(2,4,8)-f(-1,1,-1).
Calculamos
f(2,4,8) =2^{2}\cdot4 + 4\cdot8^{2} =16 + 4\cdot64 =16 + 256 =272,
f(-1,1,-1) =(-1)^{2}\cdot1 + 1\cdot(-1)^{2} =1 + 1 =2.
Logo
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =272 - 2 =270.

Resposta

(a) \displaystyle\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(2xy,\;x^{2}+z^{2},\;2yz\bigr).
(b) Sim, pois é gradiente de f em todo \mathbb{R}^{3} (domínio simplesmente conexo).
(c) De fato \mathbf{r}(-1)=A e \mathbf{r}(2)=B.
(d) \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=270.

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