Se
e
então:
(a) Determine o campo vetorial
.
(b)
é um campo vetorial conservativo? Justifique sua resposta.
(c) Mostre que
, com
, descreve uma curva que une os pontos
e
.
(d) Calcule
, sendo
a curva parametrizada por
.
(a) Determine o campo vetorial
(b)
(c) Mostre que
(d) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
pede (a) o campo vetorial
, (b) verificar se
é conservativo, (c) mostrar que
vai de
a
, e (d) calcular
.
Conteúdo: gradiente, condição de campo conservativo e teorema fundamental do cálculo de linhas para campos conservativos.
Conteúdo: gradiente, condição de campo conservativo e teorema fundamental do cálculo de linhas para campos conservativos.
Passo 2
Para achar
, calculamos as derivadas parciais:
Logo
Passo 3
Um campo
que é gradiente de uma função
é, por definição, conservativo em qualquer domínio simplesmente conexo. Como aqui
está definida em todo
, que é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo. Alternativamente, poderíamos verificar que
.
Passo 4
Devemos checar que
une
a
. Para
:
Para
:
Assim,
é uma curva de
até
.
Passo 5
Como
é conservativo, vale o teorema fundamental do cálculo de linha:
Calculamos
Logo
Resposta
(a)
.
(b) Sim, pois é gradiente de em todo
(domínio simplesmente conexo).
(c) De fato e
.
(d) .
(b) Sim, pois é gradiente de
(c) De fato
(d)