Achar a equação da reta que pasa por (1,2,3) e interseta perpendicularmente ao segmento de extremos (2,3,4) e (-3,2,5).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por P=(1,2,3) e intercepta, com ângulo reto, o segmento de extremos A=(2,3,4) e B=(-3,2,5). O conteúdo que vamos usar é projeção de um ponto em uma reta no espaço e a forma paramétrica da reta.

Passo 2

Vamos primeiro obter o vetor diretor da reta que contém o segmento AB:
AB = B - A = (-3-2,;2-3,;5-4) = (-5,,-1,,1)

Passo 3

Em seguida, calculamos o vetor AP de A até P:
AP = P - A = (1-2,;2-3,;3-4) = (-1,,-1,,-1)
O coeficiente de projeção de AP sobre AB é
t = APcdotAB|AB|^2 = (-1)(-5)+(-1)(-1)+(-1)(1)(-5)^2+(-1)^2+1^2 = 5+1-125+1+1 = 527

Passo 4

O pé da perpendicular H é dado por
H = A + t,AB = l(2,3,4r) + 527,(-5,-1,1)
Computando coordenada a coordenada:
xH = 2 - 2527 = 2927, yH = 3 - 527 = 7627, zH = 4 + 527 = 11327

Passo 5

A direção da reta procurada é PH = H - P. Calculando:
PH =l(2927-1,;7627-2,;11327-3r) =l(227,;2227,;3227r)
Podemos escolher como vetor diretor proporcional
vec d = (1,,11,,16),
que é tfrac272 vezes PH.

Passo 6

Usando ponto P=(1,2,3) e vetor diretor vec d=(1,11,16), a forma paramétrica da reta é
x = 1 + t, y = 2 + 11t, z = 3 + 16t, tinR,
ou, em forma simétrica,
x-11 ;=;y-211 ;=;z-316

Resposta

x-11 ;=;y-211 ;=;z-316

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