Considere o campo vetorial sobre
dado por
(a) Calcule
, para o qual
é a circunferência centrada na origem de raio 2 .
(b) Expanda o campo vetorial
para um outro campo vetorial
eixo 2
dado por
e calcule o rotacional de
.
(c) Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b), e explique por que nāo é uma contradiçāo com a teoria vista em sala.
(b) Expanda o campo vetorial
(c) Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b), e explique por que nāo é uma contradiçāo com a teoria vista em sala.
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial em
:
Pede três coisas:
- (a) Calcular
, onde é a circunferência centrada na origem com raio . - (b) Estender
para por
e calcular o rotacional
.
- (c) Comparar os resultados de (a) e (b) e explicar por que não há contradição com a teoria vista em sala.
Informações relevantes:
- O campo tem singularidade quando
, i.e., no ponto (ou, em 3D, ao longo do eixo quando ). - A curva
é a circunferência de raio centrada na origem; é um caminho fechado simples que circunda a singularidade.
Passo 2
Estratégia para (a): usar parametrização da circunferência e calcular diretamente a integral de linha. Lembrete didático sobre integral de linha para campos vetoriais: se uma curva
,
, então
onde
. Aqui aplicamos isso à circunferência de raio
.
Parametrização da circunferência
(sentido positivo/anti-horário):
Derivadas:
Raio ao quadrado (no denominador do campo):
Passo 3
Cálculo detalhado do integrando
. Primeiro escrevo
sobre a parametrização:
Agora produto escalar
:
Calcule cada termo:
Somando,
Observação didática: o integrando ficou constante e igual a
porque o campo é, sobre a circunferência, tangencial com magnitude que produz esse valor — isso é típico de campos do tipo rotacional em torno da origem.
Passo 4
Agora integramos em
:
Portanto o valor da integral de linha ao longo da circunferência de raio
é
.
Passo 5
Estratégia para (b): calcular o rotacional em 3D usando a fórmula
onde
. Aqui
Como
não dependem de
e
, as duas primeiras componentes do rotacional são zero:
Resta calcular a terceira componente
.
Passo 6
Cálculo explícito de
e
. Para simplificar, escrevo
.
Primeiro,
Usando a regra do produto/ cadeia,
Segundo,
portanto
Agora a diferença:
Agrupando termos:
Mas
, então
Portanto
Passo 7
Interpretação e comparação (item (c)) — por que não há contradição?
Explicação didática:
- Encontramos em (a)
, não nulo. - Encontramos em (b)
(campo sem rotacional) no domínio onde está definido.
À primeira vista isso pode parecer contraditório com teoremas que dizem “se o rotacional é zero num domínio então circulação em qualquer curva fechada é zero”. A chave é a hipótese do teorema: esses resultados exigem que o domínio seja simplesmente conexo (ou que exista uma superfície orientada cujo interior inteiro esteja no domínio para aplicar o Teorema de Stokes). No nosso caso: - Em 2D,
não está definido em ; em 3D, não está definido no eixo (todos os pontos com ). O domínio ou não é simplesmente conexo: existem laços (como a circunferência ) que circundam a singularidade e não podem ser continuamente contraídos a um ponto sem sair do domínio. - O Teorema de Stokes (ou a consequência em 2D sobre campos conservativos) só garante que uma integral de linha fechada é zero quando o campo é irrotacional em um domínio simplesmente conexo ou quando existe uma superfície cujo interior está completamente no domínio para a qual aplicar Stokes. Aqui qualquer superfície com bordo
teria que atravessar a singularidade (o eixo/ origem), onde o campo não está definido; logo não se pode aplicar Stokes diretamente nesse laço sem enfrentar a singularidade.
Portanto não há contradição: o rotacional é zero fora da singularidade, mas a presença da singularidade torna possível ter circulação não nula ao redor dela.
Passo 8
Dica prática para prova (curta e motivadora):
- Sempre verifique o domínio do campo: pontos ou linhas onde o campo não está definido podem impedir o uso de teoremas que exigem domínio simplesmente conexo.
- Para campos do tipo
a integral ao redor de uma curva simples que encerre a origem costuma dar (aqui e a curva rodeia a origem uma vez, então ). Isso é um atalho útil na prova.
Resposta
(a)
(b) em
(c) Não há contradição: o rotacional é nulo apenas fora da singularidade, mas o domínio não é simplesmente conexo (a curva envolve a singularidade), portanto não se pode concluir que toda integral de linha fechada seja zero.
(b)
(c) Não há contradição: o rotacional é nulo apenas fora da singularidade, mas o domínio não é simplesmente conexo (a curva envolve a singularidade), portanto não se pode concluir que toda integral de linha fechada seja zero.