Considere o campo vetorial F=(y^2,-x z, x^2) e a superfície S, que é a parte do paraboloide z= 1-x^2-y^2 com z >= 0.0 contorno C de S é o círculo x^2+y^2=1 no plano z=0. Calcule a circulação do campo F ao longo do contorno C utilizando o Teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a circulação do campo vetorial F ao longo do contorno C usando o Teorema de Stokes. Isso envolve entender vetores, superfícies e derivadas parciais. Para isso, vamos precisar calcular o rotacional de F e parametrizar a superfície S.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional do campo vetorial F. O rotacional de F, denotado por ∇×F, é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Para F = (y², -xz, x²):
  • $ \frac{\partial F_z}{\partial y} = \frac{\partial x^2}{\partial y} = 0 $
  • $ \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial (-xz)}{\partial z} = -x $
  • $ \frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{\partial y^2}{\partial z} = 0 $
  • $ \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial x^2}{\partial x} = 2x $
  • $ \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial (-xz)}{\partial x} = -z $
  • $ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial y^2}{\partial y} = 2y $
Então,
partial Fzpartial y = partial x^2partial y = 0

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície S, que é parte do paraboloide $ z = 1 - x^2 - y^2 $ com $ z \geq 0 $. A borda C é o círculo $ x^2 + y^2 = 1 $ no plano $ z = 0 $. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares:
z = 1 - x^2 - y^2
Onde $ r $ varia de 0 a 1 e $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $.

Passo 4

Precisamos encontrar o vetor normal $ \mathbf{n} $ à superfície S. Para isso, usamos a representação $ z = f(x,y) = 1 - x^2 - y^2 $. O vetor normal não normalizado é dado por:
n

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Vamos calcular o produto escalar $ (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} $:
(nabla times F) cdot n
Substituindo $ z = 1 - r^2 $:
(x, -2x, -z - 2y) cdot (2x, 2y, 1) = 2x^2 - 4xy + (-z - 2y)(1) = 2x^2 - 4xy - z - 2y

Passo 6

Vamos converter tudo para coordenadas polares:
x = r costheta y = r sintheta
Então,
2x^2 = 2r^2 cos^2theta -4xy = -4r^2 costheta sintheta -2y = -2r sintheta
E como $ r^2 = x^2 + y^2 $, temos:
r^2 = x^2 + y^2

Passo 7

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaS (3r^2 cos^2theta - 4r^2 costheta sintheta - 1 - 2r sintheta) cdot r , dr , dtheta
Onde o termo $ r $ vem do jacobiano das coordenadas polares.

Passo 8

Vamos separar as integrais:
integral0^2pi integral0^1 (3r^3 cos^2theta - 4r^3 costheta sintheta - r - 2r^2 sintheta) , dr , dtheta
Vamos integrar termo a termo.

Passo 9

Integrando em relação a $ r $:
r

Passo 10

Agora, integramos em relação a $ \theta $:
theta
Vamos resolver cada integral:
  1. $ \int_0^{2\pi} \frac{3}{4}\cos^2\theta , d\theta = \frac{3}{4} \cdot \pi $ (usando a identidade $ \int_0^{2\pi} \cos^2\theta , d\theta = \pi $)
  2. $ \int_0^{2\pi} -\cos\theta \sin\theta , d\theta = 0 $ (função ímpar em período completo)
  3. $ \int_0^{2\pi} -\frac{1}{2} , d\theta = -\frac{1}{2} \cdot 2\pi = -\pi $
  4. $ \int_0^{2\pi} -\frac{2}{3}\sin\theta , d\theta = 0 $ (função ímpar em período completo)

Passo 11

Somando tudo:
34pi + 0 - pi + 0 = -14pi

Resposta

A circulação do campo F ao longo do contorno C é -pi4.

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