Considere o campo vetorial e a superfície , que é a parte do paraboloide contorno de é o círculo no plano . Calcule a circulação do campo F ao longo do contorno utilizando o Teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a circulação do campo vetorial F ao longo do contorno C usando o Teorema de Stokes. Isso envolve entender vetores, superfícies e derivadas parciais. Para isso, vamos precisar calcular o rotacional de F e parametrizar a superfície S.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional do campo vetorial F. O rotacional de F, denotado por ∇×F, é dado por:
Agora, vamos parametrizar a superfície S, que é parte do paraboloide $ z = 1 - x^2 - y^2 $ com $ z \geq 0 $. A borda C é o círculo $ x^2 + y^2 = 1 $ no plano $ z = 0 $. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares:
Onde $ r $ varia de 0 a 1 e $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $.
Passo 4
Precisamos encontrar o vetor normal $ \mathbf{n} $ à superfície S. Para isso, usamos a representação $ z = f(x,y) = 1 - x^2 - y^2 $. O vetor normal não normalizado é dado por: