Sabe-se que
é uma família a dois parâmetros de soluções para
no intervalo
. Encontre um membro dessa família satisfazendo as condiçôes iniciais
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - 3y’ - 4y = 0 $. Sabemos que a solução geral dessa equação é $ y = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-x} $, onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes que a gente precisa encontrar. Nosso objetivo é achar um membro específico dessa família que satisfaça as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a condição inicial $ y(0) = 0 $. Isso significa que quando $ x = 0 $, o valor de $ y $ deve ser zero. Vamos substituir $ x = 0 $ na solução geral:
Como $ y(0) = 0 $, temos:
Passo 3
Agora, precisamos usar a outra condição inicial, que envolve a derivada de $ y $. Vamos primeiro encontrar a derivada de $ y $:
Agora, aplicamos a condição $ y’(0) = 1 $:
Então, temos:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ c_2 $ em termos de $ c_1 $:
Passo 5
Substituindo $ c_2 = -c_1 $ na segunda equação:
Passo 6
Agora que temos $ c_1 $, podemos encontrar $ c_2 $:
Resposta
Portanto, o membro da família que satisfaz as condições iniciais é: