Sabe-se que y=c1 e^4 x+c2 e^-x é uma família a dois parâmetros de soluções para y^prime prime-3 y^prime- 4 y=0 no intervalo (-infty, infty). Encontre um membro dessa família satisfazendo as condiçôes iniciais y(0)=0, y^prime(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - 3y’ - 4y = 0 $. Sabemos que a solução geral dessa equação é $ y = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-x} $, onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes que a gente precisa encontrar. Nosso objetivo é achar um membro específico dessa família que satisfaça as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição inicial $ y(0) = 0 $. Isso significa que quando $ x = 0 $, o valor de $ y $ deve ser zero. Vamos substituir $ x = 0 $ na solução geral:
y(0) = 0
Como $ y(0) = 0 $, temos:
x = 0

Passo 3

Agora, precisamos usar a outra condição inicial, que envolve a derivada de $ y $. Vamos primeiro encontrar a derivada de $ y $:
y
Agora, aplicamos a condição $ y’(0) = 1 $:
y
Então, temos:
y' = ddx(c1 e^4x + c2 e^-x) = 4c1 e^4x - c2 e^-x

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
c1 + c2 = 0 4c1 - c2 = 1
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ c_2 $ em termos de $ c_1 $:
c2

Passo 5

Substituindo $ c_2 = -c_1 $ na segunda equação:
c2 = -c1

Passo 6

Agora que temos $ c_1 $, podemos encontrar $ c_2 $:
c1

Resposta

Portanto, o membro da família que satisfaz as condições iniciais é:
y = 15 e^4x - 15 e^-x

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