Considere o campo vetorial F=(y,-x, 0) e a curva C, que é o contorno de um círculo de raio R=2, centrado na origem, no plano z=0. Calcule a circulação do campo F ao longo de C usando o Teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F = (y, -x, 0) e uma curva C, que é o contorno de um círculo de raio R = 2, centrado na origem no plano z = 0. O que a gente precisa fazer é calcular a circulação desse campo F ao longo da curva C usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender o que é circulação, o que diz o Teorema de Stokes e como aplicar ele nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação de um campo vetorial F ao longo de uma curva C é basicamente a integral de linha de F ao longo de C, escrita como:
ointC F cdot dr
Isso mede o quanto o campo F “gira” ao redor da curva C.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema de Stokes. Ele relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície S que tem C como contorno. A fórmula do teorema é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional do campo F. O rotacional, ou curl, de F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Para F = (y, -x, 0), temos:
partial Fzpartial y = 0, partial Fypartial z = 0
partial Fxpartial z = 0, partial Fzpartial x = 0
partial Fypartial x = -1, partial Fxpartial y = 1
Então,
nabla times F = (0 - 0, 0 - 0, -1 - 1) = (0, 0, -2)

Passo 5

Agora, precisamos determinar o vetor normal n à superfície S. Como a curva C está no plano z = 0, uma superfície natural S seria o disco desse círculo no mesmo plano. O vetor normal perpendicular ao plano z = 0 é n = (0, 0, 1).

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar do rotacional de F com o vetor normal n:
(nabla times F) cdot n = (0, 0, -2) cdot (0, 0, 1) = -2

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de superfície. Como o valor do produto escalar é constante (-2), a integral fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = -2 integral duplaS dS = -2 times Área(S) Á
A área de um círculo de raio R = 2 é:
Área(S) = pi R^2 = pi (2)^2 = 4pi Á

Passo 8

Substituindo a área na integral, temos:
-2 times 4pi = -8pi

Resposta

A circulação do campo F ao longo da curva C é -8pi.

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