Considere o campo vetorial
e a curva
, que é o contorno de um círculo de raio
, centrado na origem, no plano
. Calcule a circulação do campo
ao longo de
usando o Teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma curva
, que é o contorno de um círculo de raio
, centrado na origem no plano
. O que a gente precisa fazer é calcular a circulação desse campo
ao longo da curva
usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender o que é circulação, o que diz o Teorema de Stokes e como aplicar ele nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação de um campo vetorial
ao longo de uma curva
é basicamente a integral de linha de
ao longo de
, escrita como:
Isso mede o quanto o campo
“gira” ao redor da curva
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema de Stokes. Ele relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como contorno. A fórmula do teorema é:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional do campo
. O rotacional, ou curl, de
é dado por:
Para
, temos:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. Como a curva
está no plano
, uma superfície natural
seria o disco desse círculo no mesmo plano. O vetor normal perpendicular ao plano
é
.
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar do rotacional de
com o vetor normal
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de superfície. Como o valor do produto escalar é constante (-2), a integral fica:
A área de um círculo de raio
é:
Passo 8
Substituindo a área na integral, temos:
Resposta
A circulação do campo
ao longo da curva
é
.