Identifique e esboce as curvas:
(9) y^22-2 x+4=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você me mandou! A gente tem a equação . Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de curva essa equação representa e fazer um esboço dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica, especialmente sobre as curvas cônicas como parábolas, elipses e hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação numa forma mais fácil de entender. Vamos resolver para y^22 - 2x + 4 = 0 :
-2x = -y^22 - 4
Vamos isolar o 2x = y^22 + 4 :
x = y^24 + 2
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, dividindo tudo por 2:

Passo 3

Agora que temos a equação , podemos comparar com as formas canônicas das curvas cônicas. Sabemos que uma parábola que abre para a direita tem a forma , onde determina a largura e a direção da abertura, e é o deslocamento horizontal.
Comparando com nossa equação, vemos que ela se encaixa perfeitamente nessa forma. Portanto, a curva é uma parábola que abre para a direita.

Passo 4

Vamos entender as características dessa parábola:
  • Vértice: O ponto onde a parábola muda de direção. Pela equação , o vértice está em .
  • Direção de abertura: Como o coeficiente de é positivo e a equação está resolvida para , a parábola abre para a direita.
  • Largura: O valor indica que a parábola é mais rasa (mais aberta) do que a padrão .
Para esboçar:
  • Marque o vértice em .
  • Como ela abre para a direita, desenhe a curva se afastando desse ponto para a direita.
  • Você pode escolher alguns valores de para encontrar pontos adicionais. Por exemplo:
    • Se , então .
    • Se , então .
Isso ajuda a formar a forma da parábola.

Resposta

A equação representa uma parábola que abre para a direita com vértice no ponto . O esboço dessa parábola mostra uma curva simétrica em relação ao eixo , se afastando do vértice para a direita.

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