Questão 2 (3,0 pts)
Considere uma economia fictícia com 4 regiões: A, B, C e D, com as seguintes características:
Região
A
B
C
D
Renda mensal média por pessoa (R$)
1.000
1.500
2.000
5.000
População na Região (em mil hab)
50
15
25
10
Pede-se:
a) Faça o esboço da curva de Lorenz desta economia destacando os pontos de referência de cada região.
b) Calcule o índice de Gini aproximado para esta economia normalizado entre 0 e 1 e explique o que esse resultado sugere sobre a distribuição de renda desta economia.
c) Suponha que as políticas públicas visem elevar toda a população das duas regiões mais pobres (
e
) até uma renda alvo de R
2.000$ mensais por pessoa (mantendo as rendas das outras regiões iguais). Calcule os impactos dessa política sobre a melhoria da distribuição de renda neste país.
| Região | A | B | C | D |
| Renda mensal média por pessoa (R$) | 1.000 | 1.500 | 2.000 | 5.000 |
| População na Região (em mil hab) | 50 | 15 | 25 | 10 |
b) Calcule o índice de Gini aproximado para esta economia normalizado entre 0 e 1 e explique o que esse resultado sugere sobre a distribuição de renda desta economia.
c) Suponha que as políticas públicas visem elevar toda a população das duas regiões mais pobres (
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) esboçar a curva de Lorenz desta economia e destacar os pontos de referência de cada região; (b) calcular o índice de Gini normalizado entre 0 e 1 e interpretar o resultado; (c) supor uma política que eleva as rendas das duas regiões mais pobres (A e B) até R$ 2.000 por pessoa mantendo as outras iguais e calcular o impacto dessa política na distribuição de renda.
Vou usar os dados que estão na tabela do enunciado (estou pegando esses dados da tabela):
Vou usar os dados que estão na tabela do enunciado (estou pegando esses dados da tabela):
Resumo numérico extraído da tabela: populações em milhares:
(total
mil); rendas por pessoa:
. Não resolvo nada neste passo, só organizei o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Construção passo a passo da curva de Lorenz (explicação didática e aplicação aos dados):
O que é a curva de Lorenz e como montá-la? A Lorenz relaciona a fração acumulada da população (no eixo horizontal) com a fração acumulada da renda (no eixo vertical), ordenando primeiro os grupos do mais pobre ao mais rico. Para cada região calculamos: (i) participação da população; (ii) renda total da região; (iii) participação da renda; (iv) acumulados. Esses pontos acumulados (começando em e terminando em
) formam a curva de Lorenz. Vou fazer isso passo a passo.
O que é a curva de Lorenz e como montá-la? A Lorenz relaciona a fração acumulada da população (no eixo horizontal) com a fração acumulada da renda (no eixo vertical), ordenando primeiro os grupos do mais pobre ao mais rico. Para cada região calculamos: (i) participação da população; (ii) renda total da região; (iii) participação da renda; (iv) acumulados. Esses pontos acumulados (começando em
- Calcular população total e participações por região. População total =
(mil). Participações populacionais:
- Calcular renda total por região (população
renda per capita) e renda total do país. Como as populações estão em milhares, trabalho em unidades monetárias compatíveis (milhares cancelam):
Total renda =
.
- Participações de renda (frações da renda total): é a renda da região dividida pela renda total. Para facilitar exatidão, deixo em frações e aproximações decimais:
-
Calculamos os acumulados populacionais e de renda ordenando do mais pobre ao mais rico (a ordem já é
porque seus rendimentos per capita vão de até ). Acumulados:
População acumulada:.
Renda acumulada (usando as aproximações):. Aqui cada ponto é um ponto de referência da curva de Lorenz; por exemplo o ponto correspondente à região A é . -
Esboço da Lorenz: os pontos que devemos marcar no gráfico são (em ordem):
Para esboçar: ligue esses pontos com segmentos (ou com uma curva suave que passe por eles). Não tenho como desenhar aqui, mas com esses pares você consegue traçar o gráfico em papel: no eixo horizontal marque frações da população de 0 a 1 e no vertical frações da renda de 0 a 1 e plote os pontos acima.
Passo 3
Cálculo do índice de Gini a partir da Lorenz (método e cálculos detalhados):
Fórmula conceitual: o índice de Gini é duas vezes a área entre a reta de perfeita igualdade e a curva de Lorenz; se
é a área sob a curva de Lorenz então
Fórmula conceitual: o índice de Gini é duas vezes a área entre a reta de perfeita igualdade
Vou aproximar
calculando a área sob a curva pela soma das áreas de trapézios entre os pontos discretos que temos (método trapezoidal). Dados os pontos
e
, a área do trapézio é
.
Usando os pontos listados:
Somando as áreas:
Aplicando a fórmula do Gini:
Interpretação didática do resultado:
. O índice varia de
(perfeita igualdade) a
(máxima desigualdade). Um valor em torno de
indica uma desigualdade relativamente baixa a moderada — há desigualdade (algumas regiões recebem bem mais), mas não é uma distribuição extremamente concentrada. Observação prática: a região D (pouca população, renda per capita alta) concentra uma parcela grande da renda relativa ao seu peso populacional, e isso gera desigualdade.]
Passo 4
Aplicando a política pública pedida (elevar rendas de A e B para
por pessoa) — cálculos e nova Lorenz:
A política: fixar renda per capita de e
em
. Mantemos
em
e
em
. Recalculo as rendas por região e a renda total:
A política: fixar renda per capita de
Novas rendas por região:
Renda total nova =
.
Participações de renda novas:
Acumulados de renda seguindo a mesma ordem
:
Portanto os pontos da nova Lorenz são:
Passo 5
Cálculo do novo índice de Gini (método trapezoidal novamente) e interpretação do impacto:
Calculo as áreas dos trapézios sob a nova Lorenz:
Calculo as áreas dos trapézios sob a nova Lorenz:
Somando:
Novo Gini:
Impacto e interpretação:
- Antes:
. Depois da política: . - A redução absoluta do Gini é aproximadamente
(redução de cerca de ). Em termos relativos, isso significa uma queda de aproximadamente da desigualdade medida por Gini (ou seja, ). - A política aumenta a renda média por pessoa de
para (em R$ por mês), e concentra uma parcela bem maior da renda nos 50% mais pobres (a participação acumulada dos 50% mais pobres sobe de para ). Logo a política melhora bastante a equidade: reduz consideravelmente a desigualdade medida pelo índice de Gini e aumenta o bem-estar dos grupos mais pobres.]
Resposta
(a) Pontos de referência da curva de Lorenz (ordem pobre→rico):
. \n(b) Índice de Gini aproximado:
. Esse valor sugere desigualdade baixa-moderada (há concentração de renda, mas não extrema). \n(c) Após elevar rendas de A e B para
: novos pontos da Lorenz
; novo Gini
. Impacto: redução absoluta do Gini ≈
(redução relativa ≈
), indicando melhoria substancial na distribuição de renda.