Questão 2 (3,0 pts)

Considere uma economia fictícia com 4 regiões: A, B, C e D, com as seguintes características:
Região A B C D
Renda mensal média por pessoa (R$) 1.000 1.500 2.000 5.000
População na Região (em mil hab) 50 15 25 10

Pede-se:

a) Faça o esboço da curva de Lorenz desta economia destacando os pontos de referência de cada região.
b) Calcule o índice de Gini aproximado para esta economia normalizado entre 0 e 1 e explique o que esse resultado sugere sobre a distribuição de renda desta economia.
c) Suponha que as políticas públicas visem elevar toda a população das duas regiões mais pobres ( A e B ) até uma renda alvo de R \ 2.000$ mensais por pessoa (mantendo as rendas das outras regiões iguais). Calcule os impactos dessa política sobre a melhoria da distribuição de renda neste país.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) esboçar a curva de Lorenz desta economia e destacar os pontos de referência de cada região; (b) calcular o índice de Gini normalizado entre 0 e 1 e interpretar o resultado; (c) supor uma política que eleva as rendas das duas regiões mais pobres (A e B) até R$ 2.000 por pessoa mantendo as outras iguais e calcular o impacto dessa política na distribuição de renda.
Vou usar os dados que estão na tabela do enunciado (estou pegando esses dados da tabela):
\begin{array}{l|cccc} \text{Região} & A & B & C & D\\hline \text{Renda mensal por pessoa (R\$)} & 1000 & 1500 & 2000 & 5000\\\ \text{População (mil hab)} & 50 & 15 & 25 & 10 \end{array}ãçã
Resumo numérico extraído da tabela: populações em milhares: \,50,\,15,\,25,\,10 (total 100 mil); rendas por pessoa: \,1000,\,1500,\,2000,\,5000. Não resolvo nada neste passo, só organizei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Construção passo a passo da curva de Lorenz (explicação didática e aplicação aos dados):
O que é a curva de Lorenz e como montá-la? A Lorenz relaciona a fração acumulada da população (no eixo horizontal) com a fração acumulada da renda (no eixo vertical), ordenando primeiro os grupos do mais pobre ao mais rico. Para cada região calculamos: (i) participação da população; (ii) renda total da região; (iii) participação da renda; (iv) acumulados. Esses pontos acumulados (começando em (0,0) e terminando em (1,1)) formam a curva de Lorenz. Vou fazer isso passo a passo.
  1. Calcular população total e participações por região. População total = 50+15+25+10=100 (mil). Participações populacionais:
\begin{aligned} \text{A: } &\frac{50}{100}=0{,}50,\\\ \text{B: } &\frac{15}{100}=0{,}15,\\\ \text{C: } &\frac{25}{100}=0{,}25,\\\ \text{D: } &\frac{10}{100}=0{,}10. \end{aligned}
  1. Calcular renda total por região (população \times renda per capita) e renda total do país. Como as populações estão em milhares, trabalho em unidades monetárias compatíveis (milhares cancelam):
\begin{aligned} \text{Renda}_A &=50\times 1000=50{,}000,\\\ \text{Renda}_B &=15\times 1500=22{,}500,\\\ \text{Renda}_C &=25\times 2000=50{,}000,\\\ \text{Renda}_D &=10\times 5000=50{,}000. \end{aligned}
Total renda = 50{,}000+22{,}500+50{,}000+50{,}000=172{,}500.
  1. Participações de renda (frações da renda total): é a renda da região dividida pela renda total. Para facilitar exatidão, deixo em frações e aproximações decimais:
\begin{aligned} \text{A: } &\frac{50{,}000}{172{,}500}=\frac{20}{69}\approx 0{,}289855,\\\ \text{B: } &\frac{22{,}500}{172{,}500}=\frac{3}{23}\approx 0{,}130435,\\\ \text{C: } &\frac{50{,}000}{172{,}500}=\frac{20}{69}\approx 0{,}289855,\\\ \text{D: } &\frac{50{,}000}{172{,}500}=\frac{20}{69}\approx 0{,}289855. \end{aligned}
  1. Calculamos os acumulados populacionais e de renda ordenando do mais pobre ao mais rico (a ordem já é A,B,C,D porque seus rendimentos per capita vão de 1000 até 5000). Acumulados:
    População acumulada: (0,\,0{,}50,\,0{,}65,\,0{,}90,\,1{,}00).
    Renda acumulada (usando as aproximações): (0,\,0{,}289855,\,0{,}420290,\,0{,}710145,\,1{,}00). Aqui cada ponto (x,y) é um ponto de referência da curva de Lorenz; por exemplo o ponto correspondente à região A é \bigl(0{,}50,\;0{,}289855\bigr).
  2. Esboço da Lorenz: os pontos que devemos marcar no gráfico são (em ordem):
(0,0),\;\bigl(0{,}50,\;0{,}289855\bigr),\;\bigl(0{,}65,\;0{,}42029\bigr),\;\bigl(0{,}90,\;0{,}710145\bigr),\;(1,1).
Para esboçar: ligue esses pontos com segmentos (ou com uma curva suave que passe por eles). Não tenho como desenhar aqui, mas com esses pares você consegue traçar o gráfico em papel: no eixo horizontal marque frações da população de 0 a 1 e no vertical frações da renda de 0 a 1 e plote os pontos acima.

Passo 3

Cálculo do índice de Gini a partir da Lorenz (método e cálculos detalhados):
Fórmula conceitual: o índice de Gini é duas vezes a área entre a reta de perfeita igualdade y=x e a curva de Lorenz; se A é a área sob a curva de Lorenz então
\text{Gini}=1-2A.
Vou aproximar A calculando a área sob a curva pela soma das áreas de trapézios entre os pontos discretos que temos (método trapezoidal). Dados os pontos (x_{i-1},y_{i-1}) e (x_i,y_i), a área do trapézio é (x_i-x_{i-1})\cdot\frac{y_{i}+y_{i-1}}{2}.
Usando os pontos listados:
\begin{aligned} \text{Segmento 1: }&x_0=0,\;x_1=0{,}50,\;y_0=0,\;y_1\approx 0{,}289855\\\ &\Rightarrow A_1=(0{,}50-0)\cdot\frac{0+0{,}289855}{2}=0{,}5\cdot 0{,}1449275=0{,}07246375.\\[4pt] \text{Segmento 2: }&x_1=0{,}50,\;x_2=0{,}65,\;y_1\approx0{,}289855,\;y_2\approx0{,}42029\\\ &\Rightarrow A_2=(0{,}65-0{,}50)\cdot\frac{0{,}289855+0{,}42029}{2}=0{,}15\cdot 0{,}3550725=0{,}053260875.\\[4pt] \text{Segmento 3: }&x_2=0{,}65,\;x_3=0{,}90,\;y_2\approx0{,}42029,\;y_3\approx0{,}710145\\\ &\Rightarrow A_3=(0{,}90-0{,}65)\cdot\frac{0{,}42029+0{,}710145}{2}=0{,}25\cdot 0{,}5652175=0{,}14130375.\\[4pt] \text{Segmento 4: }&x_3=0{,}90,\;x_4=1{,}00,\;y_3\approx0{,}710145,\;y_4=1\\\ &\Rightarrow A_4=(1{,}00-0{,}90)\cdot\frac{0{,}710145+1}{2}=0{,}10\cdot 0{,}8550725=0{,}08550725. \end{aligned}
Somando as áreas:
A\approx A_1+A_2+A_3+A_4=0{,}07246375+0{,}053260875+0{,}14130375+0{,}08550725\approx 0{,}352536375.
Aplicando a fórmula do Gini:
\text{Gini}=1-2A\approx 1-2\cdot 0{,}352536375\approx 1-0{,}70507275\approx 0{,}29492725\approx 0{,}295.
Interpretação didática do resultado: \text{Gini}\approx 0{,}295. O índice varia de 0 (perfeita igualdade) a 1 (máxima desigualdade). Um valor em torno de 0{,}29 indica uma desigualdade relativamente baixa a moderada — há desigualdade (algumas regiões recebem bem mais), mas não é uma distribuição extremamente concentrada. Observação prática: a região D (pouca população, renda per capita alta) concentra uma parcela grande da renda relativa ao seu peso populacional, e isso gera desigualdade.]

Passo 4

Aplicando a política pública pedida (elevar rendas de A e B para \mathrm{R\$}\,2000 por pessoa) — cálculos e nova Lorenz:
A política: fixar renda per capita de A e B em \,2000. Mantemos C em 2000 e D em 5000. Recalculo as rendas por região e a renda total:
Novas rendas por região:
\begin{aligned} \text{Renda}_A' &=50\times 2000=100{,}000,\\\ \text{Renda}_B' &=15\times 2000=30{,}000,\\\ \text{Renda}_C' &=25\times 2000=50{,}000\;(\text{igual}),\\\ \text{Renda}_D' &=10\times 5000=50{,}000\;(\text{igual}). \end{aligned}
Renda total nova = 100{,}000+30{,}000+50{,}000+50{,}000=230{,}000.
Participações de renda novas:
\begin{aligned} \text{A: }&\frac{100{,}000}{230{,}000}=\frac{10}{23}\approx 0{,}4347826,\\\ \text{B: }&\frac{30{,}000}{230{,}000}=\frac{3}{23}\approx 0{,}1304348,\\\ \text{C: }&\frac{50{,}000}{230{,}000}=\frac{5}{23}\approx 0{,}2173913,\\\ \text{D: }&\frac{50{,}000}{230{,}000}=\frac{5}{23}\approx 0{,}2173913. \end{aligned}
Acumulados de renda seguindo a mesma ordem A,B,C,D:
(0,\,0{,}4347826,\,0{,}5652174,\,0{,}7826087,\,1{,}00).
Portanto os pontos da nova Lorenz são:
(0,0),\;\bigl(0{,}50,\;0{,}4347826\bigr),\;\bigl(0{,}65,\;0{,}5652174\bigr),\;\bigl(0{,}90,\;0{,}7826087\bigr),\;(1,1).

Passo 5

Cálculo do novo índice de Gini (método trapezoidal novamente) e interpretação do impacto:
Calculo as áreas dos trapézios sob a nova Lorenz:
\begin{aligned} A_1'&=(0{,}50-0)\cdot\frac{0+0{,}4347826}{2}=0{,}5\cdot 0{,}2173913=0{,}10869565,\\[4pt] A_2'&=(0{,}65-0{,}50)\cdot\frac{0{,}4347826+0{,}5652174}{2}=0{,}15\cdot 0{,}5=0{,}075,\\[4pt] A_3'&=(0{,}90-0{,}65)\cdot\frac{0{,}5652174+0{,}7826087}{2}=0{,}25\cdot 0{,}67391305=0{,}1684782625,\\[4pt] A_4'&=(1{,}00-0{,}90)\cdot\frac{0{,}7826087+1}{2}=0{,}10\cdot 0{,}89130435=0{,}089130435. \end{aligned}
Somando:
A' \approx 0{,}10869565+0{,}075+0{,}1684782625+0{,}089130435\approx 0{,}4413043475.
Novo Gini:
\text{Gini}'=1-2A'\approx 1-2\cdot 0{,}4413043475\approx 1-0{,}882608695\approx 0{,}117391305\approx 0{,}1174.
Impacto e interpretação:
  • Antes: \text{Gini}\approx 0{,}295. Depois da política: \text{Gini}'\approx 0{,}1174.
  • A redução absoluta do Gini é aproximadamente 0{,}295-0{,}1174=0{,}1776 (redução de cerca de 0{,}178). Em termos relativos, isso significa uma queda de aproximadamente 60{,}2\% da desigualdade medida por Gini (ou seja, \frac{0{,}1776}{0{,}295}\approx 0{,}602).
  • A política aumenta a renda média por pessoa de \frac{172{,}500}{100}=1{,}725 para \frac{230{,}000}{100}=2{,}300 (em R$ por mês), e concentra uma parcela bem maior da renda nos 50% mais pobres (a participação acumulada dos 50% mais pobres sobe de \approx 0{,}2899 para \approx 0{,}4348). Logo a política melhora bastante a equidade: reduz consideravelmente a desigualdade medida pelo índice de Gini e aumenta o bem-estar dos grupos mais pobres.]

Resposta

(a) Pontos de referência da curva de Lorenz (ordem pobre→rico): (0,0),\;\bigl(0{,}50,\;0{,}289855\bigr),\;\bigl(0{,}65,\;0{,}42029\bigr),\;\bigl(0{,}90,\;0{,}710145\bigr),\;(1,1). \n(b) Índice de Gini aproximado: \;0{,}295. Esse valor sugere desigualdade baixa-moderada (há concentração de renda, mas não extrema). \n(c) Após elevar rendas de A e B para \mathrm{R\$}\,2000: novos pontos da Lorenz (0,0),\;\bigl(0{,}50,\;0{,}4347826\bigr),\;\bigl(0{,}65,\;0{,}5652174\bigr),\;\bigl(0{,}90,\;0{,}7826087\bigr),\;(1,1); novo Gini \approx 0{,}1174. Impacto: redução absoluta do Gini ≈ 0{,}178 (redução relativa ≈ 60{,}2\%), indicando melhoria substancial na distribuição de renda.

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