Resolva as equações abaixo:
(a) (5 / 16)^{5 x}=3,20^{4 x+10}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left(\frac{5}{16}\right)^{5x}=3,20^{4x+10}
Ou seja, encontrar o valor de x que satisfaz essa igualdade. Informação importante dada: o número 3,20 aparece no enunciado (vírgula decimal usada).

Passo 2

Vamos primeiro interpretar o número decimal à direita. Note que
3,20=\frac{16}{5},
pois \dfrac{16}{5}=3,2. Substituindo na equação original obtemos
\left(\frac{5}{16}\right)^{5x}=\left(\frac{16}{5}\right)^{4x+10}.

Passo 3

Observe a relação entre \dfrac{16}{5} e \dfrac{5}{16}:
\frac{16}{5}=\left(\frac{5}{16}\right)^{-1}.
Usando a propriedade de potências \big(a^{-1}\big)^k=a^{-k}, podemos escrever
\left(\frac{16}{5}\right)^{4x+10}=\left(\frac{5}{16}\right)^{-(4x+10)}.

Passo 4

Com isso a equação fica com a mesma base em ambos os lados:
\left(\frac{5}{16}\right)^{5x}=\left(\frac{5}{16}\right)^{-(4x+10)}.
Explicando: quando temos a^u=a^v e a base a é positiva e diferente de 1, então podemos concluir que u=v. Aqui a base é a=\dfrac{5}{16}, que é positiva e diferente de 1, logo igualamos os expoentes.

Passo 5

Igualando os expoentes:
5x=-(4x+10).
Agora resolvemos essa equação linear passo a passo.

Passo 6

Desenvolvendo o lado direito e isolando x:
5x = -4x - 10
5x + 4x = -10
9x = -10
x = -\frac{10}{9}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, só para ter certeza): com x=-\dfrac{10}{9} temos 5x=-\dfrac{50}{9} e 4x+10=\dfrac{50}{9}. Assim
\left(\frac{5}{16}\right)^{5x}=\left(\frac{5}{16}\right)^{-\tfrac{50}{9}} \quad\text{e}\quad \left(\frac{16}{5}\right)^{4x+10}=\left(\frac{16}{5}\right)^{\tfrac{50}{9}}=\left(\frac{5}{16}\right)^{-\tfrac{50}{9}},
portanto os dois lados coincidem, confirmando a solução.

Resposta

x=-\dfrac{10}{9}

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