Considere o campo vetorial
.
Calcule o trabalho do campo ao longo da curva (C)
Calcule o trabalho do campo ao longo da curva (C)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva fechada parametrizada
Pede-se o trabalho do campo ao longo de
, isto é, o valor do integral de linha
Passo 2
Vou escrever a definição prática do trabalho para lembrar como proceder:
Aqui
é o parâmetro da curva,
é o vetor tangente (derivada da parametrização) e o produto escalar
dá a componente tangencial do campo que, integrada, dá o trabalho. Essa é a fórmula que usaríamos se fôssemos calcular diretamente pela parametrização.
Passo 3
Antes de calcular diretamente, é bom checar se o campo tem uma propriedade que facilita muito o cálculo: se existe uma função potencial
tal que
então o integral de linha entre dois pontos depende só dos pontos finais e, para uma curva fechada, o trabalho é zero. Vou verificar essa possibilidade porque, se for o caso, evita uma integral longa.
Passo 4
Seja
com
Calculo as derivadas parciais cruzadas que aparecem no teste clássico:
Portanto
Passo 5
Explico o porquê disso ser suficiente: existe um teorema (do cálculo vetorial) que diz que se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região simplesmente conexa do plano e se
nessa região, então
é gradiente de alguma função
(ou seja,
é conservativo). O plano
é simplesmente conexo e as derivadas parciais aqui são polinômios (logo contínuas). Assim
é conservativo e tem potencial
.
Passo 6
Vou encontrar explicitamente a função potencial
. Começo integrando
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 7
Agora uso a condição
para achar
. Diferenciando a expressão encontrada:
Como isso deve ser igual a
, obtemos
Logo
é constante. Posso escolher a constante zero (potencial definido até uma constante). Assim
Passo 8
Pelo teorema fundamental para campos gradiente (teorema do gradiente), o integral de linha entre dois pontos
e
ao longo de um campo conservativo é
No caso de uma curva fechada, os pontos inicial e final coincidem, logo
. Portanto o trabalho ao longo de qualquer curva fechada em que o campo seja definido é zero.
Passo 9
Aplicando isso à curva
dada, que é fechada (volta ao mesmo ponto quando
vai de
a
), concluo que
(Se você quiser ter certeza por cálculo direto, poderia parametrizar e integrar
de
a
; daria zero por simetria, mas o método do potencial é muito mais rápido.)