Considere o campo vetorial
\vec{F}(x, y)=\left\langle x^{3} y^{4}, x^{4} y^{3}\right\rangle.
Calcule o trabalho do campo ao longo da curva (C)
C: \vec{r}(t)=(3 \cos t, 3 \sin t), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
W=\square

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\langle x^{3}y^{4},\,x^{4}y^{3}\rangle
e a curva fechada parametrizada
\vec{r}(t)=(3\cos t,\,3\sin t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Pede-se o trabalho do campo ao longo de C, isto é, o valor do integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Vou escrever a definição prática do trabalho para lembrar como proceder:
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui t é o parâmetro da curva, \vec{r}\,'(t) é o vetor tangente (derivada da parametrização) e o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) dá a componente tangencial do campo que, integrada, dá o trabalho. Essa é a fórmula que usaríamos se fôssemos calcular diretamente pela parametrização.

Passo 3

Antes de calcular diretamente, é bom checar se o campo tem uma propriedade que facilita muito o cálculo: se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\nabla\varphi=\vec{F},
então o integral de linha entre dois pontos depende só dos pontos finais e, para uma curva fechada, o trabalho é zero. Vou verificar essa possibilidade porque, se for o caso, evita uma integral longa.

Passo 4

Seja \vec{F}=\langle P(x,y),\,Q(x,y)\rangle com
P(x,y)=x^{3}y^{4},\qquad Q(x,y)=x^{4}y^{3}.
Calculo as derivadas parciais cruzadas que aparecem no teste clássico:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{4}\big)=4x^{3}y^{3},
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}y^{3}\big)=4x^{3}y^{3}.
Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em todos os pontos}.

Passo 5

Explico o porquê disso ser suficiente: existe um teorema (do cálculo vetorial) que diz que se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma região simplesmente conexa do plano e se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x nessa região, então \vec{F} é gradiente de alguma função \varphi (ou seja, \vec{F} é conservativo). O plano \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo e as derivadas parciais aqui são polinômios (logo contínuas). Assim \vec{F} é conservativo e tem potencial \varphi.

Passo 6

Vou encontrar explicitamente a função potencial \varphi(x,y). Começo integrando P em relação a x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=x^{3}y^{4}\quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y)=\int x^{3}y^{4}\,dx = \frac{x^{4}}{4}\,y^{4}+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 7

Agora uso a condição \partial\varphi/\partial y=Q para achar g(y). Diferenciando a expressão encontrada:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{x^{4}}{4}\cdot 4y^{3}+g'(y)=x^{4}y^{3}+g'(y).
Como isso deve ser igual a Q(x,y)=x^{4}y^{3}, obtemos
x^{4}y^{3}+g'(y)=x^{4}y^{3}\quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0.
Logo g(y) é constante. Posso escolher a constante zero (potencial definido até uma constante). Assim
\varphi(x,y)=\frac{x^{4}y^{4}}{4}+C.

Passo 8

Pelo teorema fundamental para campos gradiente (teorema do gradiente), o integral de linha entre dois pontos A e B ao longo de um campo conservativo é
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
No caso de uma curva fechada, os pontos inicial e final coincidem, logo \varphi(B)-\varphi(A)=0. Portanto o trabalho ao longo de qualquer curva fechada em que o campo seja definido é zero.

Passo 9

Aplicando isso à curva C dada, que é fechada (volta ao mesmo ponto quando t vai de 0 a 2\pi), concluo que
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
(Se você quiser ter certeza por cálculo direto, poderia parametrizar e integrar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) de 0 a 2\pi; daria zero por simetria, mas o método do potencial é muito mais rápido.)

Resposta

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