Questão 20 (0.5 ponto)

Determine se o Teorema de Rolle se aplica às seguintes funções no intervalo dado. Se sim, encontre o(s) ponto(s) garantido(s) pelo Teorema de Rolle.
(A) f(x)=x^{3}-2 x^{2}-8 x no intervalo [-2,4].
(B) g(x)=x^{3}-x^{2}-5 x-3 no intervalo [-1,3].
Alternativas:
(a) (A) c=\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{3}, \quad(B) c=\frac{5}{3}
(b) (A) c=2, \quad(B) c=-1
(c) (A) c=\frac{5}{2}, \quad(B) c=0
(d) (A) c=3, \quad(B) c=2
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede, para cada função dada, que verifiquemos se o Teorema de Rolle se aplica no intervalo informado e, se sim, que encontremos os pontos c garantidos por esse teorema.
Informações fornecidas:
  • (A) f(x)=x^{3}-2 x^{2}-8 x no intervalo [-2,4].
  • (B) g(x)=x^{3}-x^{2}-5 x-3 no intervalo [-1,3].
O que precisamos responder:
  • Verificar as condições do Teorema de Rolle para cada função no respectivo intervalo.
  • Se as condições forem satisfeitas, encontrar todos os pontos c em (a,b) tais que f'\text{(c)}=0 (ou g'\text{(c)}=0).

Passo 2

Primeiro, vou explicar de forma simples o que exige o Teorema de Rolle (a “aula rápida” necessária aqui):
  • O Teorema de Rolle diz: se uma função h é contínua no intervalo fechado [a,b], diferenciável no intervalo aberto (a,b) e satisfaz h(a)=h(b), então existe ao menos um ponto c em (a,b) tal que h'\text{(c)}=0.
Explicação dos termos:
  • "Contínua em [a,b]" significa que não há quebras ou saltos no gráfico entre a e b.
  • "Diferenciável em (a,b)" significa que a derivada existe em todo ponto interno; isso descarta cantos pontiagudos.
  • A condição h(a)=h(b) é necessária para garantir que a função “suba e desça” e tenha um lugar interno com tangente horizontal.
Observação prática: polinômios são funções que são contínuas e diferenciáveis em toda a reta real, então para eles só precisamos verificar a condição h(a)=h(b). Se essa igualdade ocorrer, o Teorema de Rolle se aplica e então procuramos c resolvendo h'(x)=0 em (a,b).

Passo 3

Aplicando isso ao item (A).
  1. Verificar f(a)=f(b): calcular f(-2) e f(4).
Calculemos:
f(-2)=(-2)^{3}-2(-2)^{2}-8(-2) = -8 - 2\cdot 4 +16 = -8 -8 +16 = 0.
f(4)=4^{3}-2\cdot 4^{2}-8\cdot 4 = 64 - 2\cdot 16 -32 = 64 -32 -32 = 0.
Logo f(-2)=f(4)=0. Como f é polinômio, é contínua em [-2,4] e diferenciável em (-2,4). Portanto o Teorema de Rolle se aplica.

Passo 4

Agora encontrar os pontos c em (-2,4) com f'\text{(c)}=0.
  1. Derivada: aplicando a regra do expoente (regra do poder) termo a termo,
f'(x)=3x^{2}-4x-8.
Breve explicação: derivada de x^{3} é 3x^{2}, de -2x^{2} é -4x, de -8x é -8.
  1. Resolver 3x^{2}-4x-8=0. Usamos a fórmula quadrática: para uma equação ax^{2}+bx+c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=3, b=-4, c=-8. Então o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot 3\cdot(-8)=16+96=112.
\sqrt{\Delta}=\sqrt{112}=\sqrt{16\cdot 7}=4\sqrt{7}.
Logo
x=\frac{4\pm 4\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{3}.
  1. Verificar se essas soluções estão dentro do intervalo aberto (-2,4).
Aproximações (só para confirmar): \sqrt{7}\approx 2,6458.
\frac{2+2\sqrt{7}}{3}\approx\frac{2+5,2916}{3}\approx\frac{7,2916}{3}\approx 2,4305,
\frac{2-2\sqrt{7}}{3}\approx\frac{2-5,2916}{3}\approx\frac{-3,2916}{3}\approx -1,0972.
Ambos estão em (-2,4). Portanto há dois pontos c garantidos:
c=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{3}.

Passo 5

Agora o item (B).
  1. Verificar g(-1) e g(3):
Calculemos:
g(-1)=(-1)^{3}-(-1)^{2}-5(-1)-3 = -1 -1 +5 -3 = 0.
g(3)=3^{3}-3^{2}-5\cdot 3 -3 = 27 -9 -15 -3 = 0.
Portanto g(-1)=g(3)=0. Como g é polinômio, é contínua em [-1,3] e diferenciável em (-1,3). Logo o Teorema de Rolle se aplica.

Passo 6

Encontrar c em (-1,3) com g'\text{(c)}=0.
  1. Derivada:
g'(x)=3x^{2}-2x-5.
Derivada de x^{3} é 3x^{2}, de -x^{2} é -2x, de -5x é -5, e constante -3 some.
  1. Resolver 3x^{2}-2x-5=0 pela fórmula quadrática com a=3, b=-2, c=-5:
\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot 3\cdot(-5)=4+60=64,
\sqrt{\Delta}=8.
x=\frac{2\pm 8}{6}.
Isso dá as soluções
x=\frac{2+8}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3},
x=\frac{2-8}{6}=\frac{-6}{6}=-1.
  1. Verificar quais soluções estão no intervalo aberto (-1,3).
  • x=-1 é exatamente o extremo esquerdo do intervalo, não pertence ao intervalo aberto (-1,3), então não conta como c exigido pelo Teorema de Rolle (o teorema garante um ponto interior).
  • x=\frac{5}{3} está em (-1,3) (pois \frac{5}{3}\approx 1,6667). Portanto o único c interior com g'\text{(c)}=0 é
c=\frac{5}{3}.

Passo 7

Resumo final rápido: em (A) o Teorema de Rolle se aplica e fornece dois pontos c em (-2,4); em (B) o Teorema de Rolle se aplica e fornece um ponto c em (-1,3). Também note que a solução do item (B) gerou uma raiz da derivada que coincidiu com o limite do intervalo (isso acontece às vezes), mas só contamos os pontos internos.

Resposta

(A) c=\dfrac{2\pm 2\sqrt{7}}{3}
(B) c=\dfrac{5}{3}
Alternativa: (a)

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