Questão 20 (0.5 ponto)
Determine se o Teorema de Rolle se aplica às seguintes funções no intervalo dado. Se sim, encontre
ponto(s) garantido(s) pelo Teorema de Rolle.
(A)
no intervalo
.
(B)
no intervalo
.
Alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das anteriores
(A)
(B)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede, para cada função dada, que verifiquemos se o Teorema de Rolle se aplica no intervalo informado e, se sim, que encontremos os pontos
garantidos por esse teorema.
Informações fornecidas:
- (A)
no intervalo . - (B)
no intervalo .
O que precisamos responder:
- Verificar as condições do Teorema de Rolle para cada função no respectivo intervalo.
- Se as condições forem satisfeitas, encontrar todos os pontos
em tais que (ou ).
Passo 2
Primeiro, vou explicar de forma simples o que exige o Teorema de Rolle (a “aula rápida” necessária aqui):
- O Teorema de Rolle diz: se uma função
é contínua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto e satisfaz , então existe ao menos um ponto em tal que .
Explicação dos termos:
- "Contínua em
" significa que não há quebras ou saltos no gráfico entre e . - "Diferenciável em
" significa que a derivada existe em todo ponto interno; isso descarta cantos pontiagudos. - A condição
é necessária para garantir que a função “suba e desça” e tenha um lugar interno com tangente horizontal.
Observação prática: polinômios são funções que são contínuas e diferenciáveis em toda a reta real, então para eles só precisamos verificar a condição
. Se essa igualdade ocorrer, o Teorema de Rolle se aplica e então procuramos
resolvendo
em
.
Passo 3
Aplicando isso ao item (A).
- Verificar
: calcular e .
Calculemos:
Logo
. Como
é polinômio, é contínua em
e diferenciável em
. Portanto o Teorema de Rolle se aplica.
Passo 4
Agora encontrar os pontos
em
com
.
- Derivada: aplicando a regra do expoente (regra do poder) termo a termo,
Breve explicação: derivada de
é
, de
é
, de
é
.
- Resolver
. Usamos a fórmula quadrática: para uma equação ,
Aqui
,
,
. Então o discriminante é
Logo
- Verificar se essas soluções estão dentro do intervalo aberto
.
Aproximações (só para confirmar):
.
Ambos estão em
. Portanto há dois pontos
garantidos:
Passo 5
Agora o item (B).
- Verificar
e :
Calculemos:
Portanto
. Como
é polinômio, é contínua em
e diferenciável em
. Logo o Teorema de Rolle se aplica.
Passo 6
Encontrar
em
com
.
- Derivada:
Derivada de
é
, de
é
, de
é
, e constante
some.
- Resolver
pela fórmula quadrática com , , :
Isso dá as soluções
- Verificar quais soluções estão no intervalo aberto
.
-
é exatamente o extremo esquerdo do intervalo, não pertence ao intervalo aberto , então não conta como exigido pelo Teorema de Rolle (o teorema garante um ponto interior). -
está em (pois ). Portanto o único interior com é
Passo 7
Resumo final rápido: em (A) o Teorema de Rolle se aplica e fornece dois pontos
em
; em (B) o Teorema de Rolle se aplica e fornece um ponto
em
. Também note que a solução do item (B) gerou uma raiz da derivada que coincidiu com o limite do intervalo (isso acontece às vezes), mas só contamos os pontos internos.
Resposta
(A)
(B)
Alternativa: (a)
(B)
Alternativa: (a)