Considere o campo vetorial
\vec{F}(x, y)=\left\langle x^{3} y^{4}, x^{4} y^{3}\right\rangle.
Encontre a função potencial f tal que \vec{F}=\nabla f, aplicada no ponto ( 1,2 )
f(1,2)=\square+C

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\langle x^{3}y^{4},\,x^{4}y^{3}\rangle e pede para encontrar uma função potencial f tal que \vec{F}=\nabla f, e depois avaliar essa função no ponto (1,2). Em outras palavras, precisamos determinar f(x,y) com a propriedade
\nabla f(x,y)=\left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle=\left\langle x^{3}y^{4},\,x^{4}y^{3}\right\rangle,
e então calcular f(1,2), que o enunciado quer na forma
f(1,2)=\square + C.
Informações relevantes fornecidas:
\;P(x,y)=x^{3}y^{4} (primeira componente) e \;Q(x,y)=x^{4}y^{3} (segunda componente), e o ponto onde avaliar é (1,2).

Passo 2

Entendendo o que significa ter uma função potencial: se f existe com \nabla f=\vec{F}, então devemos ter as igualdades
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=x^{3}y^{4}\quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=x^{4}y^{3}.
Antes de tentar achar f, é bom checar se esse campo é compatível com a existência de potencial (isto é, se é conservativo). Uma condição suficiente (quando as derivadas parciais são contínuas) é que
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{3}y^{4}\right)=x^{3}\cdot 4y^{3}=4x^{3}y^{3},
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{4}y^{3}\right)=4x^{3}\cdot y^{3}=4x^{3}y^{3}.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, a condição é satisfeita e podemos procurar uma função potencial f.

Passo 3

Método prático (integrar uma componente e ajustar): integramos \frac{\partial f}{\partial x}=x^{3}y^{4} em relação a x, tratando y como constante. Faça a integral:
f(x,y)=\int x^{3}y^{4}\,dx = y^{4}\int x^{3}\,dx = y^{4}\cdot \frac{x^{4}}{4} + g(y),
onde escrevemos a constante de integração como uma função g(y) porque ao integrar em x pode aparecer uma função que depende só de y. Portanto
f(x,y)=\frac{1}{4}x^{4}y^{4}+g(y).

Passo 4

Agora usamos a segunda condição \frac{\partial f}{\partial y}=x^{4}y^{3} para determinar g(y). Calcule a derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{4}x^{4}y^{4}+g(y)\right) =\frac{1}{4}x^{4}\cdot 4y^{3}+g'(y)=x^{4}y^{3}+g'(y).
Devemos ter isso igual a Q(x,y)=x^{4}y^{3}. Assim
x^{4}y^{3}+g'(y)=x^{4}y^{3}\quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0.
Integrando g'(y)=0 obtemos g(y)=C, uma constante (independente de y).

Passo 5

Concluímos que uma função potencial é
f(x,y)=\frac{1}{4}x^{4}y^{4}+C.
Agora avaliamos no ponto (1,2):
f(1,2)=\frac{1}{4}\cdot 1^{4}\cdot 2^{4}+C=\frac{1}{4}\cdot 16 + C =4 + C.

Resposta

4 + C

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