Considere o campo vetorial
.
Encontre a função potencial
tal que
, aplicada no ponto ( 1,2 )
Encontre a função potencial
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para encontrar uma função potencial
tal que
, e depois avaliar essa função no ponto
. Em outras palavras, precisamos determinar
com a propriedade
e então calcular
, que o enunciado quer na forma
Informações relevantes fornecidas:
(primeira componente) e
(segunda componente), e o ponto onde avaliar é
.
Passo 2
Entendendo o que significa ter uma função potencial: se
existe com
, então devemos ter as igualdades
Antes de tentar achar
, é bom checar se esse campo é compatível com a existência de potencial (isto é, se é conservativo). Uma condição suficiente (quando as derivadas parciais são contínuas) é que
Calculemos:
Como
, a condição é satisfeita e podemos procurar uma função potencial
.
Passo 3
Método prático (integrar uma componente e ajustar): integramos
em relação a
, tratando
como constante. Faça a integral:
onde escrevemos a constante de integração como uma função
porque ao integrar em
pode aparecer uma função que depende só de
. Portanto
Passo 4
Agora usamos a segunda condição
para determinar
. Calcule a derivada parcial de
em relação a
:
Devemos ter isso igual a
. Assim
Integrando
obtemos
, uma constante (independente de
).
Passo 5
Concluímos que uma função potencial é
Agora avaliamos no ponto
: