Considere os campos vetoriais:
Considere que
seja um campo elétrico e que
um campo magnético
- Circulação local do campo magnético
Calcule o rotacional de
e avalie no ponto
.
□
□
□
Com base no resultado numérico, Há circulação local do campo magnético em
?
Considere que
Com base no resultado numérico, Há circulação local do campo magnético em
Passo 1
O enunciado dá os campos vetoriais
e
e pede para:
- Calcular o rotacional de
, isto é . - Avaliar
no ponto
- A partir do valor numérico, responder se há circulação local do campo magnético em
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão completa de
e as coordenadas de
. Neste passo não resolvo nada, só deixei claro o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do rotacional (curl) em coordenadas cartesianas e a regra da cadeia que vamos usar.
A definição componente a componente é
A definição componente a componente é
Aqui
são as componentes de
.
Regra da cadeia (essencial): se e
, então
Regra da cadeia (essencial): se
Usaremos isso porque cada componente de
é
de uma função produto.
Passo 3
Identifico as componentes de
:
Agora calculo as derivadas parciais necessárias usando a regra da cadeia, mostrando passo a passo.
Calculemos
e
.
Calculemos
e
.
Calculemos
e
.
Passo 4
Substituo as derivadas parciais na fórmula do rotacional. Isso dá expressões limpas para cada componente:
Componente
:
Componente
:
Componente
:
Portanto, em forma vetorial,
Passo 5
Agora avalio cada expressão no ponto
Primeiro calculo os produtos que aparecem nos argumentos dos cossenos:
Passo 6
Calculo os cossenos desses valores (lembrando as identidades de período do cosseno):
Passo 7
Substituo esses valores nas expressões para as componentes do rotacional:
Componente
:
Componente
:
Componente
:
Logo o rotacional em
é
Passo 8
Interpretação final: a circulação local (infinitesimal) do campo magnético em um ponto é medida pelo rotacional
naquele ponto. Se
, existe circulação local não nula em
. Como encontramos
, vetor não nulo, concluímos que há circulação local do campo magnético em
.
Resposta
Há circulação local do campo magnético em