Considere os campos vetoriais:
\vec{E}(x, y, z)=\langle x y, y z, z x\rangle
\vec{B}(x, y, z)=\langle\sin (y z), \sin (x z), \sin (x y)\rangle
Considere que \vec{E}(x, y, z) seja um campo elétrico e que \vec{B}(x, y, z) um campo magnético
  1. Circulação local do campo magnético
Calcule o rotacional de \vec{B} e avalie no ponto
P=\left(2 \sqrt{\pi}, \frac{\sqrt{\pi}}{2}, 4 \sqrt{\pi}\right).
(\nabla \times \vec{B})_{x}(P)=
(\nabla \times \vec{B})_{y}(P)=
(\nabla \times \vec{B})_{z}(P)=
Com base no resultado numérico, Há circulação local do campo magnético em P ?

Passo 1

O enunciado dá os campos vetoriais
\vec{E}(x,y,z)=\langle x y,\; y z,\; z x\rangle
e
\vec{B}(x,y,z)=\langle \sin(yz),\; \sin(xz),\; \sin(xy)\rangle
e pede para:
  1. Calcular o rotacional de \vec{B}, isto é \nabla\times\vec{B}.
  2. Avaliar \nabla\times\vec{B} no ponto
P=\left(2\sqrt{\pi},\;\frac{\sqrt{\pi}}{2},\;4\sqrt{\pi}\right).
  1. A partir do valor numérico, responder se há circulação local do campo magnético em P.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão completa de \vec{B} e as coordenadas de P. Neste passo não resolvo nada, só deixei claro o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do rotacional (curl) em coordenadas cartesianas e a regra da cadeia que vamos usar.
A definição componente a componente é
\nabla\times\vec{B}= \left\langle \frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z},\; \frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x},\; \frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y} \right\rangle.
Aqui B_x,B_y,B_z são as componentes de \vec{B}.
Regra da cadeia (essencial): se f(u)=\sin(u) e u=u(x,y,z), então
\frac{\partial}{\partial x}\sin(u)=\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Usaremos isso porque cada componente de \vec{B} é \sin de uma função produto.

Passo 3

Identifico as componentes de \vec{B}:
B_x=\sin(yz),\qquad B_y=\sin(xz),\qquad B_z=\sin(xy).
Agora calculo as derivadas parciais necessárias usando a regra da cadeia, mostrando passo a passo.
Calculemos \frac{\partial B_x}{\partial y} e \frac{\partial B_x}{\partial z}.
\frac{\partial B_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\sin(yz)=\cos(yz)\cdot\frac{\partial (yz)}{\partial y}=\cos(yz)\cdot z.
\frac{\partial B_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\sin(yz)=\cos(yz)\cdot\frac{\partial (yz)}{\partial z}=\cos(yz)\cdot y.
Calculemos \frac{\partial B_y}{\partial x} e \frac{\partial B_y}{\partial z}.
\frac{\partial B_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\sin(xz)=\cos(xz)\cdot\frac{\partial (xz)}{\partial x}=\cos(xz)\cdot z.
\frac{\partial B_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\sin(xz)=\cos(xz)\cdot\frac{\partial (xz)}{\partial z}=\cos(xz)\cdot x.
Calculemos \frac{\partial B_z}{\partial x} e \frac{\partial B_z}{\partial y}.
\frac{\partial B_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial x}=\cos(xy)\cdot y.
\frac{\partial B_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial y}=\cos(xy)\cdot x.

Passo 4

Substituo as derivadas parciais na fórmula do rotacional. Isso dá expressões limpas para cada componente:
Componente x:
(\nabla\times\vec{B})_x=\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z} =\cos(xy)\cdot x-\cos(xz)\cdot x = x\big(\cos(xy)-\cos(xz)\big).
Componente y:
(\nabla\times\vec{B})_y=\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x} =\cos(yz)\cdot y-\cos(xy)\cdot y = y\big(\cos(yz)-\cos(xy)\big).
Componente z:
(\nabla\times\vec{B})_z=\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y} =\cos(xz)\cdot z-\cos(yz)\cdot z = z\big(\cos(xz)-\cos(yz)\big).
Portanto, em forma vetorial,
\nabla\times\vec{B}= \left\langle x\big(\cos(xy)-\cos(xz)\big),\; y\big(\cos(yz)-\cos(xy)\big),\; z\big(\cos(xz)-\cos(yz)\big) \right\rangle.

Passo 5

Agora avalio cada expressão no ponto
P=\left(2\sqrt{\pi},\;\frac{\sqrt{\pi}}{2},\;4\sqrt{\pi}\right).
Primeiro calculo os produtos que aparecem nos argumentos dos cossenos:
xy=(2\sqrt{\pi})\cdot\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)=\frac{2\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}}{2}=\pi.
xz=(2\sqrt{\pi})\cdot(4\sqrt{\pi})=8\pi.
yz=\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)\cdot(4\sqrt{\pi})=2\pi.

Passo 6

Calculo os cossenos desses valores (lembrando as identidades de período do cosseno):
\cos(xy)=\cos(\pi)=-1,
\cos(xz)=\cos(8\pi)=\cos(2\pi\cdot 4)=1,
\cos(yz)=\cos(2\pi)=1.

Passo 7

Substituo esses valores nas expressões para as componentes do rotacional:
Componente x:
(\nabla\times\vec{B})_x(P)=x\big(\cos(xy)-\cos(xz)\big) =2\sqrt{\pi}\big(-1-1\big)=2\sqrt{\pi}\cdot(-2)=-4\sqrt{\pi}.
Componente y:
(\nabla\times\vec{B})_y(P)=y\big(\cos(yz)-\cos(xy)\big) =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\big(1-(-1)\big)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot 2=\sqrt{\pi}.
Componente z:
(\nabla\times\vec{B})_z(P)=z\big(\cos(xz)-\cos(yz)\big) =4\sqrt{\pi}\big(1-1\big)=0.
Logo o rotacional em P é
\nabla\times\vec{B}(P)=\langle -4\sqrt{\pi},\;\sqrt{\pi},\;0\rangle.

Passo 8

Interpretação final: a circulação local (infinitesimal) do campo magnético em um ponto é medida pelo rotacional \nabla\times\vec{B} naquele ponto. Se \nabla\times\vec{B}(P)\neq\vec{0}, existe circulação local não nula em P. Como encontramos \nabla\times\vec{B}(P)=\langle -4\sqrt{\pi},\;\sqrt{\pi},\;0\rangle, vetor não nulo, concluímos que há circulação local do campo magnético em P.

Resposta

(\nabla\times\vec{B})_{x}(P)= -4\sqrt{\pi}
(\nabla\times\vec{B})_{y}(P)= \sqrt{\pi}
(\nabla\times\vec{B})_{z}(P)= 0
Há circulação local do campo magnético em P? Sim.

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