Considere o campo vetorial \vec{f}(x, y)=\left(-\frac{y}{(x+1)^{2}+y^{2}}+\frac{3(x-1)}{(x-1)^{2}+y^{2}}, \frac{x+1}{(x+1)^{2}+y^{2}}+\frac{3 y}{(x-1)^{2}+y^{2}}+x\right). Calcule o trabalho de \vec{f} ao longo da elipse definida pela equação \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1 percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\oint_{C}\vec f\cdot d\vec r
sobre a elipse
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1
percorrida no sentido anti-horário.
O campo pode ser escrito como
\vec f=\underbrace{\Bigl(-\frac{y}{(x+1)^{2}+y^{2}},\;\frac{x+1}{(x+1)^{2}+y^{2}}\Bigr)}_{\vec f_{1}} +\underbrace{\Bigl(\frac{3(x-1)}{(x-1)^{2}+y^{2}},\;\frac{3y}{(x-1)^{2}+y^{2}}\Bigr)}_{\vec f_{2}} +\underbrace{(0,\;x)}_{\vec f_{3}}.
Vamos calcular W=\oint_C\vec f_1\cdot d\vec r+\oint_C\vec f_2\cdot d\vec r+\oint_C\vec f_3\cdot d\vec r separadamente.

Passo 2

O campo
\vec f_{1}(x,y)=\Bigl(-\tfrac{y}{(x+1)^{2}+y^{2}},\;\tfrac{x+1}{(x+1)^{2}+y^{2}}\Bigr)
é o campo padrão de circulação unitária em torno do ponto (-1,0). Qualquer curva simples que envolva (-1,0) uma vez no sentido anti-horário satisfaz
\oint_C\vec f_{1}\cdot d\vec r=2\pi.

Passo 3

Analogamente,
\vec f_{2}(x,y)=\Bigl(\tfrac{3(x-1)}{(x-1)^{2}+y^{2}},\;\tfrac{3y}{(x-1)^{2}+y^{2}}\Bigr)
é três vezes o campo de circulação unitária em torno de (1,0). A elipse envolve (1,0) uma vez, logo
\oint_C\vec f_{2}\cdot d\vec r=3\cdot2\pi=6\pi.

Passo 4

O terceiro campo é \vec f_{3}=(0,x). Usando o Teorema de Green:
\oint_C P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA =\iint_{R}1\,dA
pois \partial Q/\partial x=1 e \partial P/\partial y=0. O domínio R é a região interna da elipse de área
\text{Area}= \pi\cdot5\cdot4 =20\pi.
Portanto
\oint_C\vec f_{3}\cdot d\vec r=20\pi.

Passo 5

Somando as três contribuições:
W=2\pi+6\pi+20\pi=28\pi.

Resposta

28\pi

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