Calcule \int_{C}(x-y) d s, onde C é o triângulo de vértices O=(0,0), P=(1,0) e Q=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar ao longo do contorno triangular fechado C com vértices O=(0,0), P=(1,0) e Q=(0,1). O conteúdo aqui é integral de linha de escalar, dada por
\int_{C}f(x,y)\,ds \;=\;\sum_{\text{arestas}}\int_{t=a}^{b}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.
Vamos dividir C em três arestas: \overline{OP}, \overline{PQ} e \overline{QO}, parametrizar cada uma e calcular separadamente a contribuição de \,f(x,y)=x-y em cada trecho.

Passo 2

Para \overline{OP} de O(0,0) até P(1,0) usamos
x(t)=t,\quad y(t)=0,\quad t\in[0,1].
Temos x-y=t,
ds=\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt=\sqrt{1^2+0^2}\,dt=dt,
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\int_{OP}(x-y)\,ds=\int_{0}^{1}t\,dt=\frac{1}{2}.

Passo 3

Para \overline{PQ} de P(1,0) até Q(0,1) escolhemos
x(t)=1-t,\quad y(t)=t,\quad t\in[0,1].
Então x-y=1-2t e
ds=\sqrt{(-1)^2+1^2}\,dt=\sqrt{2}\,dt.
A integral fica
\int_{PQ}(x-y)\,ds =\int_{0}^{1}(1-2t)\,\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\Bigl[t-t^2\Bigr]_{0}^{1} =\sqrt{2}\,(1-1)=0.

Passo 4

Para \overline{QO} de Q(0,1) até O(0,0) tomamos
x(t)=0,\quad y(t)=1-t,\quad t\in[0,1].
Aqui x-y=-(1-t)=t-1 e
ds=\sqrt{0^2+(-1)^2}\,dt=dt.
Portanto
\int_{QO}(x-y)\,ds =\int_{0}^{1}(t-1)\,dt =\Bigl[\tfrac{t^2}{2}-t\Bigr]_{0}^{1} =\bigl(\tfrac12-1\bigr)= -\tfrac12.

Passo 5

Somando as três contribuições:
\int_{C}(x-y)\,ds =\frac12 + 0 + \bigl(-\tfrac12\bigr) =0.

Resposta

0

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