Sabendo-se que a reta y=\frac{1}{2} é uma assíntota horizontal para o gráfico de f(x)=\frac{\sqrt{2024+5 a x^{6}}}{b x^{3}+a}, é possível concluir que:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{2024+5\,a\,x^{6}}}{b\,x^{3}+a}
e afirma que a reta y=\tfrac12 é assíntota horizontal. Isso significa que
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\tfrac12.
Para resolver, vamos usar cálculo de limites no infinito e condições de existência da raiz.

Passo 2

Para que \sqrt{2024+5\,a\,x^{6}} seja real para todo x, é preciso
2024+5\,a\,x^{6}\ge0\quad\forall x.
Como x^{6}\ge0, isso obriga a\ge0. Se a=0, então f(x)=\sqrt{2024}/(b\,x^{3})\to0 quando x\to+\infty, o que não dá assíntota 1/2. Logo, precisamos de a>0.

Passo 3

Para x\to+\infty, escrevemos
\sqrt{2024+5\,a\,x^{6}} =\sqrt{x^{6}}\;\sqrt{5\,a+\frac{2024}{x^{6}}} =x^{3}\,\sqrt{5\,a+\frac{2024}{x^{6}}},
pois x>0. Assim,
f(x) =\frac{x^{3}\,\sqrt{5\,a+\tfrac{2024}{x^{6}}}}{b\,x^{3}+a} =\frac{x^{3}\,\sqrt{5\,a}\,\bigl(1+o(1)\bigr)}{b\,x^{3}\,\bigl(1+o(1)\bigr)} =\frac{\sqrt{5\,a}}{b}+o(1).
Portanto
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\frac{\sqrt{5\,a}}{b}.

Passo 4

Como queremos \lim_{x\to+\infty}f(x)=\tfrac12, impomos
\frac{\sqrt{5\,a}}{b}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad b=2\,\sqrt{5\,a}.
Elevando ao quadrado, fica
b^{2}=20\,a.

Resposta

a>0 e b^{2}=20\,a.

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