Calcule \int_{C} f d s, onde C é a hélice parametrizada por \gamma:[0,4 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \gamma(t)=(a \cos (t), a \sin (t), a t) com a>0 e f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, é dada por f(x, y, z)=e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} f\,ds
onde C é a hélice parametrizada por \gamma\colon[0,4\pi]\to\mathbb{R}^3,
\gamma(t) = \bigl(a\cos(t),\,a\sin(t),\,a\,t\bigr)
com a>0, e
f(x,y,z)=e^{\,x^2+y^2+z^2 - a^2}.
O conteúdo é a integral de linha de função escalar, para a qual usamos
\int_C f\,ds = \int_{0}^{4\pi} f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 2

Vamos avaliar o expoente de f ao longo da curva. Note que
x^2+y^2 = a^2\cos^2(t)+a^2\sin^2(t) = a^2,
e
z^2 = (a\,t)^2 = a^2\,t^2.
Logo
x^2+y^2+z^2 - a^2 = a^2 + a^2\,t^2 - a^2 = a^2\,t^2,
e portanto
f\bigl(\gamma(t)\bigr) = e^{\,a^2\,t^2}.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade \bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert. Primeiro
\gamma'(t) = \bigl(-a\sin(t),\,a\cos(t),\,a\bigr),
então
\bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2 + a^2} = \sqrt{a^2(\sin^2t+\cos^2t)+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.

Passo 4

Substituindo em
\int_{0}^{4\pi} f(\gamma(t))\,\lVert\gamma'(t)\rVert\,dt
temos
\int_{0}^{4\pi} e^{\,a^2t^2}\,\bigl(a\sqrt{2}\bigr)\,dt = a\sqrt{2}\int_{0}^{4\pi} e^{\,a^2t^2}\,dt.

Passo 5

A primitiva de e^{\,a^2t^2} não é elementar, mas pode ser expressa pela função de erro imaginária \mathrm{erfi}. Sabemos que
\int e^{\,a^2t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2a}\,\mathrm{erfi}\bigl(a\,t\bigr) + C.
Logo
a\sqrt{2}\int_{0}^{4\pi} e^{\,a^2t^2}\,dt = a\sqrt{2}\,\frac{\sqrt{\pi}}{2a}\,\Bigl[\mathrm{erfi}\bigl(a\,t\bigr)\Bigr]_{0}^{4\pi} = \frac{\sqrt{2\pi}}{2}\,\bigl(\mathrm{erfi}(4\pi a)-\mathrm{erfi}(0)\bigr).
Como \mathrm{erfi}(0)=0, isso fica
\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\mathrm{erfi}(4\pi a).

Resposta

\int_{C} f\,ds = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\mathrm{erfi}\bigl(4\pi\,a\bigr).

Exercícios relacionados