Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)= \left(\sqrt[3]{x}, \frac{1}{1+y^{2}}\right) e \Gamma é quadrado de vértices (1,-1), (1,1),(-1,1) e (-1,-1). De acordo com o Teorema de Green, \oint_{\Gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{r}(t) é qualquer parametrização de \Gamma, está descrito em:
a) -2
b) 1 / 2
c) 1
d) 2
X nenhuma das anteriores { }^{*}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \displaystyle \vec F(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) com
P(x,y) = \sqrt[3]{x}, \quad Q(x,y) = \frac{1}{1+y^{2}},
e \Gamma é o contorno orientado positivamente do quadrado de vértices (1,-1), (1,1), (-1,1), (-1,-1). Pede-se \displaystyle \oint_{\Gamma}\vec F\cdot d\vec r. Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre a região D interna a \Gamma.

Passo 2

Pelo Teorema de Green vale
\oint_{\Gamma}\vec F\cdot d\vec r = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\Bigl(\tfrac{1}{1+y^{2}}\Bigr) = 0, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr) = 0.

Passo 4

Logo o integrando é zero em todo D:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - 0 = 0.
Daí
\iint_{D}0\,dA = 0,
logo \displaystyle \oint_{\Gamma}\vec F\cdot d\vec r = 0.

Resposta

X nenhuma das anteriores

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