Questão 2) (5 pts) Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x^{2}+y^{2} \leq 1, y \geq 0, e cujas seções perpendiculares ao eixo x são quadrados.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido cuja base é o semicírculo \;x^{2}+y^{2}\le1,\;y\ge0
e cujas seções transversais, feitas por planos perpendiculares ao eixo x, são quadrados.
Vamos usar o método dos sólidos por cortes:
V=\int_{a}^{b}A(x)\,dx
onde A(x) é a área do quadrado em função de x, e os limites a e b vêm da projeção da base no eixo x, isto é, de -1 a 1.

Passo 2

Para um valor fixo de x\in[-1,1], o semicírculo fornece um segmento em y que vai de 0 até \sqrt{1 - x^2}.
Esse segmento é a aresta do quadrado, logo
s(x)=\sqrt{1 - x^2}.

Passo 3

A área do quadrado de aresta s(x) é
A(x) = [s(x)]^2 = \bigl(\sqrt{1 - x^2}\bigr)^2 = 1 - x^2.

Passo 4

O volume do sólido é a integral da área de cada seção ao longo de x\in[-1,1]:
V = \int_{-1}^{1} A(x)\,dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx.

Passo 5

Calculamos a antiderivada de 1 - x^2:
\int (1 - x^2)\,dx = x - \frac{x^3}{3} + C.
Avaliando de -1 a 1:
V = \Bigl[x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} = \Bigl(1 - \tfrac{1}{3}\Bigr) - \Bigl(-1 + \tfrac{1}{3}\Bigr) = \tfrac{2}{3} - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) = \tfrac{4}{3}.

Resposta

O volume do sólido é \tfrac{4}{3}.

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