Em qual das opções não há uma parametrização para a curva y=2 x, \operatorname{com}-1 \leq x \leq 1?
a) \gamma(t)=(t, 2 t),-1 \leq t \leq 1
b) \gamma(t)=(\cos t, 2 \cos t), \pi \leq t \leq 2 \pi
c) \mathcal{H}(t)=(\operatorname{sen} t, 2 \operatorname{sen} t), \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3 \pi}{2}
\gamma(t)=\left(t-1,2 t-2 \cos ^{2} t\right), 0 \leq t \leq 2
e) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede para descobrir qual das opções NÃO fornece uma parametrização da reta y=2x com x variando de -1 até 1. O tópico é parametrização de curvas, onde a gente especifica funções x(t) e y(t) que reproduzem a relação e o domínio em x.

Passo 2

Para que \gamma(t)=(x(t),y(t)) descreva exatamente a reta y=2x em [-1,1], precisamos de duas coisas:
  1. Para todo t do intervalo dado, deve valer
y(t)=2\,x(t).
  1. Conforme t varia no seu intervalo, o conjunto de valores \{x(t)\} deve ser exatamente [-1,1].

Passo 3

Opção (a): \gamma(t)=(t,2t), -1\le t\le1.
Aqui y(t)=2t=2\,x(t) satisfaz a relação, e como t vai de -1 a 1, x(t)=t também varre [-1,1]. Logo esta opção está correta.

Passo 4

Opção (b): \gamma(t)=(\cos t,2\cos t), \pi\le t\le2\pi.
Temos y(t)=2\cos t=2\,x(t). Com t de \pi a 2\pi, \cos t percorre de -1 até 1. Assim x(t) varre [-1,1] e a relação se mantém, então é válida.

Passo 5

Opção (c): \mathcal{H}(t)=(\sin t,2\sin t), \tfrac{\pi}{2}\le t\le\tfrac{3\pi}{2}.
Aqui y(t)=2\sin t=2\,x(t). Ao variar de \pi/2 a 3\pi/2, \sin t vai de 1 a -1, cobrindo [-1,1]. A relação é preservada, então também é válida.

Passo 6

Opção (d): \gamma(t)=(t-1,\;2t-2\cos^2 t), 0\le t\le2.
Temos x(t)=t-1 e y(t)=2t-2\cos^2 t. Para descrever a reta precisaríamos de
y(t)=2\,x(t)=2(t-1)=2t-2.
Mas em vez de 2t-2 aparece 2t-2\cos^2 t, e isso só bate quando \cos^2 t=1. Em geral falha, logo não é parametrização da reta y=2x.

Resposta

(d)

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