Questão 3) (5 pts) Usando o método dos anéis cilíndricos calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leq x \leq 2\right. e \left.0 \leq y \leq x^{2}-1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1 \le x \le 2,\;0 \le y \le x^2 - 1\}.
O conteúdo é volume por método dos anéis cilíndricos (casca cilíndrica), em que usamos a fórmula
V = 2\pi \int_{a}^{b} \bigl(\text{raio}\bigr)\cdot\bigl(\text{altura}\bigr)\,dx.

Passo 2

Identificamos, para uma casca em abscissa x:
– raio = x (distância ao eixo y),
– altura = x^2 - 1 - 0 = x^2 - 1.
Assim, o elemento de volume é
dV = 2\pi \,x\,(x^2 - 1)\,dx.

Passo 3

Montamos a integral de x=1 até x=2:
V = 2\pi \int_{1}^{2} x\,(x^2 - 1)\,dx.

Passo 4

Expandindo o integrando:
x\,(x^2 - 1) = x^3 - x,
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V = 2\pi \int_{1}^{2} (x^3 - x)\,dx.

Passo 5

Calculamos a antiderivada:
\int (x^3 - x)\,dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}.
Avaliando de 1 a 2:
\left(\frac{2^4}{4} - \frac{2^2}{2}\right) - \left(\frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2}\right) = (4 - 2) - \bigl(\tfrac14 - \tfrac12\bigr) = 2 - \bigl(-\tfrac14\bigr) = \tfrac{9}{4}.
Portanto
V = 2\pi \cdot \frac{9}{4} = \frac{9\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle V = \frac{9\pi}{2}

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