Considere o campo vetorial F(x, y)=(y e^x+seny, e^x+x cosy).
Use o Teorema fundamental das integrais de linha para calcular integralC(y e^x+seny) d x+(e^x+ x cosy) d y, onde C é definida por r(t)=(1+t) i+pi t j 0 <= t <= 1.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos. A gente tem um campo vetorial F(x, y) = (y e^x + sin y, e^x + x cos y) e precisamos calcular a integral de linha integralC (y e^x + sin y) dx + (e^x + x cos y) dy, onde o caminho C é definido por r(t) = (1 + t)i + pi t j para 0 <= t <= 1. Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que facilita bastante nosso trabalho quando o campo vetorial é conservativo.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi, ou seja, F(x, y) = (partial phipartial x, partial phipartial y).
Para isso, uma condição que a gente verifica é se partial Ppartial y = partial Qpartial x, onde P = y e^x + sin y e Q = e^x + x cos y.
Calculando:
partial Ppartial y = e^x + cos y
partial Qpartial x = e^x + cos y
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial phi(x, y) que vai facilitar nossa vida na hora de calcular a integral.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial phi(x, y). Sabemos que:
partial phipartial x = P = y e^x + sin y
Integrando P em relação a x:
phi(x, y) = integral (y e^x + sin y) dx = y e^x + x sin y + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y. Para determinar h(y), vamos calcular partial phipartial y e igualar a Q:
partial phipartial y = e^x + x cos y + h'(y) = Q = e^x + x cos y
Isso nos dá:
h'(y) = 0
Integrando, temos h(y) = constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar. Portanto, a função potencial é:
phi(x, y) = y e^x + x sin y

Passo 4

Com a função potencial phi(x, y) em mãos, podemos aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz:
integralC F cdot dr = phi(r(b)) - phi(r(a))
Onde r(a) e r(b) são os pontos inicial e final do caminho C.
No nosso caso, o caminho C é definido por r(t) = (1 + t)i + pi t j para 0 <= t <= 1.
Vamos encontrar os pontos inicial e final:
  • Para t = 0:
r(0) = (1 + 0)i + pi cdot 0 j = (1, 0)
  • Para t = 1:
r(1) = (1 + 1)i + pi cdot 1 j = (2, pi)

Passo 5

Agora, vamos calcular phi nesses pontos:
phi(2, pi) = pi e^2 + 2 sin pi
Sabemos que sin pi = 0, então:
phi(2, pi) = pi e^2
phi(1, 0) = 0 cdot e^1 + 1 cdot sin 0 = 0 + 0 = 0

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
integralC (y e^x + sin y) dx + (e^x + x cos y) dy = pi e^2 - 0 = pi e^2

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