Considere o campo vetorial
.
Use o Teorema fundamental das integrais de linha para calcular
, onde
é definida por
.
Use o Teorema fundamental das integrais de linha para calcular
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos. A gente tem um campo vetorial
e precisamos calcular a integral de linha
, onde o caminho
é definido por
para
. Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que facilita bastante nosso trabalho quando o campo vetorial é conservativo.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
, ou seja,
.
Para isso, uma condição que a gente verifica é se
, onde
e
.
Calculando:
Como
, o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
que vai facilitar nossa vida na hora de calcular a integral.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
. Para determinar
, vamos calcular
e igualar a
:
Isso nos dá:
Integrando, temos
. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar. Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial
em mãos, podemos aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz:
Onde
e
são os pontos inicial e final do caminho
.
No nosso caso, o caminho
é definido por
para
.
Vamos encontrar os pontos inicial e final:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
nesses pontos:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, a integral de linha é: