Exercício 5: Calcule a integral
(b) integral x e^x / 2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral x e^x/2,dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto de duas funções em x.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é dada por
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 3

Escolhemos as partes de modo que simplifique o cálculo:
u = x, dv = e^x/2,dx

Passo 4

Derivando e integrando as partes escolhidas, obtemos:
du = dx, v = integral e^x/2,dx = 2 e^x/2

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^x/2,dx = u,v - integral v,du = x cdot 2e^x/2 - integral 2e^x/2,dx

Passo 6

Agora calculamos a integral restante:
integral 2e^x/2,dx = 2 integral e^x/2,dx = 2 cdot 2e^x/2 = 4e^x/2

Passo 7

Substituindo de volta e simplificando, temos:
integral x e^x/2,dx = 2x e^x/2 - 4e^x/2 + C = 2e^x/2(x - 2) + C

Resposta

2e^x/2(x - 2) + C

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