Seja o sistema de coordenadas esféricas dado pela expressão
\vec{x}(r, \theta, \varphi)=r\left[\sin \theta\left(\cos \varphi \hat{e}_{1}+\sin \varphi \hat{e}_{2}\right)+\cos \theta \hat{e}_{3}\right]
Então, escreva a velocidade e aceleração em coordenadas esféricas e utilize esses resultados p/ equacionar o problema do pêndulo esférico

Passo 1

O enunciado dá a parametrização do vetor posição em coordenadas esféricas:
\vec{x}(r,\theta,\varphi)=r\Big[\sin\theta\big(\cos\varphi\,\hat{e}_1+\sin\varphi\,\hat{e}_2\big)+\cos\theta\,\hat{e}_3\Big].
O que se pede:
  • Escrever a velocidade \vec{v}=\dot{\vec{x}} em coordenadas esféricas (isto é, em combinação das bases \hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_\varphi e em função de \dot r,\dot\theta,\dot\varphi).
  • Escrever a aceleração \vec{a}=\ddot{\vec{x}} em coordenadas esféricas (em função de r,\theta,\varphi e das derivadas temporais até segunda ordem).
  • Usar esses resultados para montar as equações do movimento do pêndulo esférico: massa m presa a um cabo rígido de comprimento fixo L (portanto r=L= constante) e sujeita à gravidade \vec F_g=-mg\,\hat{e}_3. Obter as equações para \theta(t) e \varphi(t) e explicitar a força de tensão T no cabo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parametrização é a usual com \theta medido a partir do eixo \hat e_3 (polar) e \varphi azimutal.
  • As bases locais são \hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_\varphi dependentes do tempo quando \theta,\varphi variam.
  • Para o pêndulo esférico há a restrição r=L fixa.
A partir daqui calculamos passo a passo.

Passo 2

Definir explicitamente as bases locais e suas derivadas temporais (essa é a chave técnica).
Primeiro, as bases esféricas em termos das bases cartesianas \hat e_1,\hat e_2,\hat e_3:
\hat{e}_r=\sin\theta\cos\varphi\,\hat e_1+\sin\theta\sin\varphi\,\hat e_2+\cos\theta\,\hat e_3,
\hat{e}_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\hat e_1+\cos\theta\sin\varphi\,\hat e_2-\sin\theta\,\hat e_3,
\hat{e}_\varphi=-\sin\varphi\,\hat e_1+\cos\varphi\,\hat e_2.
Explicação: \hat{e}_r aponta na direção radial, \hat{e}_\theta aponta no sentido de aumento de \theta (desce do polo para o equador) e \hat{e}_\varphi no sentido azimutal. Essas fórmulas vêm da derivação direta da parametrização coordenada.
Agora precisamos das derivadas temporais dessas bases, usando a regra da cadeia (cada base depende de \theta(t) e \varphi(t)). Aplicando a diferenciação e reorganizando nas bases esféricas dá-se (essa é uma fórmula padrão; quem não decorou: pode-se derivar pela componente em \hat e_1,\hat e_2,\hat e_3 e reescrever):
\dot{\hat{e}}_r=\dot\theta\,\hat{e}_\theta+\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_\varphi,
\dot{\hat{e}}_\theta=-\dot\theta\,\hat{e}_r+\dot\varphi\cos\theta\,\hat{e}_\varphi,
\dot{\hat{e}}_\varphi=-\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_r-\dot\varphi\cos\theta\,\hat{e}_\theta.
Breve comentário didático: cada derivada aparece por duas fontes — variação de \theta e variação de \varphi — e a projeção do efeito na base é obtida usando as relações trigonométricas entre as bases.

Passo 3

Calcular a velocidade \vec{v}=\dot{\vec{x}} por derivação direta da expressão \vec{x}=r\hat{e}_r (é conveniente escrever \vec x = r\,\hat e_r).
Aplicamos a regra do produto:
\vec{v}=\dot r\,\hat{e}_r + r\,\dot{\hat{e}}_r.
Substituindo \dot{\hat e}_r do passo anterior:
\vec{v}=\dot r\,\hat{e}_r + r\big(\dot\theta\,\hat{e}_\theta+\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_\varphi\big).
Colocando de forma explícita:
\boxed{\displaystyle \vec{v}=\dot r\,\hat{e}_r + r\dot\theta\,\hat{e}_\theta + r\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_\varphi.}
Interpretação física: cada termo corresponde à velocidade na direção radial, polar e azimutal. Note que o componente azimutal tem o fator geométrico \sin\theta porque arco azimutal com ângulo \varphi tem raio efetivo r\sin\theta.

Passo 4

Calcular a aceleração \vec{a}=\ddot{\vec{x}}=\dot{\vec v}. Tomamos a derivada de \vec v e usamos as derivadas das bases do passo 2. Procedimento passo a passo:
Começamos por diferenciar \vec v=\dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta + r\dot\varphi\sin\theta\,\hat e_\varphi.
  1. Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dt}(\dot r\,\hat e_r)=\ddot r\,\hat e_r + \dot r\,\dot{\hat e}_r.
  1. Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dt}(r\dot\theta\,\hat e_\theta)=(\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\,\hat e_\theta + r\dot\theta\,\dot{\hat e}_\theta.
  1. Derivada do terceiro termo:
\frac{d}{dt}\big(r\dot\varphi\sin\theta\,\hat e_\varphi\big) =\big(\dot r\dot\varphi\sin\theta + r\ddot\varphi\sin\theta + r\dot\varphi\cos\theta\,\dot\theta\big)\hat e_\varphi + r\dot\varphi\sin\theta\,\dot{\hat e}_\varphi.
Agora substituímos \dot{\hat e}_r,\dot{\hat e}_\theta,\dot{\hat e}_\varphi e agrupamos termos nas três direções \hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_\varphi. Fazendo essa algebra (mostro as contas principais e o resultado clássico):
Coeficiente em \hat{e}_r:
\ddot r - r\dot\theta^2 - r\dot\varphi^2\sin^2\theta.
Coeficiente em \hat{e}_\theta:
r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta.
Coeficiente em \hat{e}_\varphi:
r\ddot\varphi\sin\theta + 2\dot r\dot\varphi\sin\theta + 2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta.
Portanto a forma final da aceleração é:
\boxed{\displaystyle \vec{a}=\big(\ddot r - r\dot\theta^2 - r\dot\varphi^2\sin^2\theta\big)\hat{e}_r +\big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta\big)\hat{e}_\theta +\big(r\ddot\varphi\sin\theta + 2\dot r\dot\varphi\sin\theta + 2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta\big)\hat{e}_\varphi. }
Breve explicação: cada termo tem origem clara pela regra do produto e pelas variações das bases. Por exemplo, o termo -r\dot\theta^2 em \hat e_r é análogo ao termo centrífugo radial devido à variação angular em \theta; o termo com 2\dot r\dot\theta em \hat e_\theta é uma força de Coriolis geométrica (produto da velocidade radial pela mudança de base), etc.

Passo 5

Aplicar ao pêndulo esférico: impor r=L constante. Isso simplifica muito as expressões porque \dot r=\ddot r=0. Substituindo em \vec v e \vec a:
Velocidade do pêndulo (com r=L):
\boxed{\displaystyle \vec v=L\dot\theta\,\hat e_\theta + L\dot\varphi\sin\theta\,\hat e_\varphi.}
Aceleração do pêndulo (com r=L, \dot r=\ddot r=0):
\boxed{\displaystyle \vec a=-L\big(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta\big)\hat e_r +L\big(\ddot\theta - \dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta\big)\hat e_\theta +L\big(\ddot\varphi\sin\theta + 2\dot\theta\dot\varphi\cos\theta\big)\hat e_\varphi. }
Interpretação rápida: o componente radial é puramente centrífugo/centrípeto, o componente \theta contém o termo que envolve a curvatura azimutal -\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta, e o componente \varphi contém o termo de acoplamento 2\dot\theta\dot\varphi\cos\theta típico de movimentos sobre superfícies curvas.

Passo 6

Forças atuantes e projeção de Newton. As forças sobre a massa m são:
  • Tensão do cabo \vec{T}=-T\,\hat e_r (apontando para o pivô, direção radial negativa; T é módulo a determinar).
  • Gravidade \vec F_g=-mg\,\hat e_3.
Expressar \hat e_3 nas bases esféricas: a componente \hat e_3 em termos de \hat e_r,\hat e_\theta é
\hat e_3=\cos\theta\,\hat e_r - \sin\theta\,\hat e_\theta.
(Na derivação: \hat e_r tem componente \cos\theta na direção \hat e_3, e \hat e_\theta tem componente -\sin\theta.)
Então a gravidade escrita nas bases esféricas:
\vec F_g=-mg\,\hat e_3=-mg\big(\cos\theta\,\hat e_r - \sin\theta\,\hat e_\theta\big) =-mg\cos\theta\,\hat e_r + mg\sin\theta\,\hat e_\theta.
Somando forças:
\vec F = -T\,\hat e_r - mg\cos\theta\,\hat e_r + mg\sin\theta\,\hat e_\theta =-(T+mg\cos\theta)\,\hat e_r + mg\sin\theta\,\hat e_\theta.
Não há componente na direção \hat e_\varphi: \vec F\cdot\hat e_\varphi=0.
Agora aplicamos a Segunda Lei \,m\vec a=\vec F. Projetando em cada base obtém-se três equações escalares.

Passo 7

Projetar m\vec a=\vec F nas três direções.
Componente radial ( \hat e_r):
m\big[-L(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta)\big]=-(T+mg\cos\theta).
Isolando T (frequentemente útil):
\boxed{\displaystyle T = mL\big(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta\big) - mg\cos\theta.}
Comentário: a tensão equilibra a componente radial da aceleração e o peso radial.
Componente polar ( \hat e_\theta):
m\big[L(\ddot\theta - \dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta)\big]=mg\sin\theta.
Dividindo por mL dá a equação do movimento para \theta:
\boxed{\displaystyle \ddot\theta - \dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta = \frac{g}{L}\sin\theta.}
Podemos reorganizar assim:
\boxed{\displaystyle \ddot\theta = \sin\theta\big(\dot\varphi^2\cos\theta + \tfrac{g}{L}\big).}
Aviso físico sobre o sinal: com a convenção \theta medido a partir do eixo \hat e_3, a posição de equilíbrio de mínimo potencial gravitacional é \theta=\pi (massa pendurada abaixo do pivô). Ao linearizar em torno de \theta=\pi recupera-se a equação usual do pêndulo plano.
Componente azimutal ( \hat e_\varphi):
m\big[L(\ddot\varphi\sin\theta + 2\dot\theta\dot\varphi\cos\theta)\big]=0,
ou, simplificando:
\boxed{\displaystyle \ddot\varphi\sin\theta + 2\dot\theta\dot\varphi\cos\theta = 0.}
Essa equação implica conservação de um momento associado ao giro azimutal. Reescrevendo em forma conservada:
\frac{d}{dt}\big(\dot\varphi\sin^2\theta\big)=0 \quad\Rightarrow\quad \dot\varphi\sin^2\theta = \text{const} \equiv \frac{L_z}{mL^2},
onde L_z é a componente do momento angular em torno do eixo \hat e_3. Mais explicitamente, o momento angular conservado é
\boxed{\displaystyle mL^2\dot\varphi\sin^2\theta = \text{const}.}

Passo 8

Checagens físicas e limites:
  • Se o movimento for restringido ao plano contendo o z (ou seja \dot\varphi=0), a equação de \theta reduz-se a
\ddot\theta = \frac{g}{L}\sin\theta,
e, linearizando em torno do equilíbrio inferior \theta=\pi (usar \theta=\pi-\alpha com \alpha\ll1), obtém-se \ddot\alpha + \tfrac{g}{L}\alpha=0, que é a equação do pêndulo simples (frequência \sqrt{g/L}). Isso confirma consistência de sinais quando se lembra que o equilíbrio físico é \theta=\pi.
  • A equação azimutal mostra conservação do giro: se \theta variar, \dot\varphi ajusta-se de modo que \dot\varphi\sin^2\theta seja constante (compensação do “braço” \sin\theta).

Passo 9

Resumo didático final das expressões principais (para decorar e aplicar na prova):
Velocidade em coordenadas esféricas:
\vec v=\dot r\,\hat{e}_r + r\dot\theta\,\hat{e}_\theta + r\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_\varphi.
Aceleração em coordenadas esféricas:
\vec{a}=(\ddot r - r\dot\theta^2 - r\dot\varphi^2\sin^2\theta)\hat{e}_r +(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta)\hat{e}_\theta +(r\ddot\varphi\sin\theta + 2\dot r\dot\varphi\sin\theta + 2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta)\hat{e}_\varphi.
Para o pêndulo esférico ( r=L fixo) — velocidade e aceleração simplificadas:
\vec v=L\dot\theta\,\hat e_\theta + L\dot\varphi\sin\theta\,\hat e_\varphi,
\vec a=-L(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta)\hat e_r +L(\ddot\theta - \dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta)\hat e_\theta +L(\ddot\varphi\sin\theta + 2\dot\theta\dot\varphi\cos\theta)\hat e_\varphi.
Equações do movimento (Newton m\vec a=\vec F):
T = mL\big(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta\big) - mg\cos\theta,
\ddot\theta - \dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta = \frac{g}{L}\sin\theta,
\ddot\varphi\sin\theta + 2\dot\theta\dot\varphi\cos\theta = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{d}{dt}\big(mL^2\dot\varphi\sin^2\theta\big)=0.

Resposta

\displaystyle \vec v=\dot r\,\hat{e}_r + r\dot\theta\,\hat{e}_\theta + r\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_\varphi
\displaystyle \vec{a}=(\ddot r - r\dot\theta^2 - r\dot\varphi^2\sin^2\theta)\hat{e}_r+(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta)\hat{e}_\theta+(r\ddot\varphi\sin\theta + 2\dot r\dot\varphi\sin\theta + 2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta)\hat{e}_\varphi
Para o pêndulo esférico com r=L:
\displaystyle \vec v=L\dot\theta\,\hat e_\theta + L\dot\varphi\sin\theta\,\hat e_\varphi
\displaystyle \vec a=-L(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta)\hat e_r + L(\ddot\theta - \dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta)\hat e_\theta + L(\ddot\varphi\sin\theta + 2\dot\theta\dot\varphi\cos\theta)\hat e_\varphi
Equações do movimento:
\displaystyle T = mL\big(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta\big) - mg\cos\theta
\displaystyle \ddot\theta - \dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta = \frac{g}{L}\sin\theta
\displaystyle \ddot\varphi\sin\theta + 2\dot\theta\dot\varphi\cos\theta = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad mL^2\dot\varphi\sin^2\theta=\text{const.}

Exercícios relacionados