Seja o sistema de coordenadas esféricas dado pela expressão
Então, escreva a velocidade e aceleração em coordenadas esféricas e utilize esses resultados p/ equacionar o problema do pêndulo esférico
Passo 1
O enunciado dá a parametrização do vetor posição em coordenadas esféricas:
O que se pede:
- Escrever a velocidade
em coordenadas esféricas (isto é, em combinação das bases e em função de ). - Escrever a aceleração
em coordenadas esféricas (em função de e das derivadas temporais até segunda ordem). - Usar esses resultados para montar as equações do movimento do pêndulo esférico: massa
presa a um cabo rígido de comprimento fixo (portanto constante) e sujeita à gravidade . Obter as equações para e e explicitar a força de tensão no cabo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A parametrização é a usual com
medido a partir do eixo (polar) e azimutal. - As bases locais são
dependentes do tempo quando variam. - Para o pêndulo esférico há a restrição
fixa.
A partir daqui calculamos passo a passo.
Passo 2
Definir explicitamente as bases locais e suas derivadas temporais (essa é a chave técnica).
Primeiro, as bases esféricas em termos das bases cartesianas :
Primeiro, as bases esféricas em termos das bases cartesianas
Explicação:
aponta na direção radial,
aponta no sentido de aumento de
(desce do polo para o equador) e
no sentido azimutal. Essas fórmulas vêm da derivação direta da parametrização coordenada.
Agora precisamos das derivadas temporais dessas bases, usando a regra da cadeia (cada base depende de
e
). Aplicando a diferenciação e reorganizando nas bases esféricas dá-se (essa é uma fórmula padrão; quem não decorou: pode-se derivar pela componente em
e reescrever):
Breve comentário didático: cada derivada aparece por duas fontes — variação de
e variação de
— e a projeção do efeito na base é obtida usando as relações trigonométricas entre as bases.
Passo 3
Calcular a velocidade
por derivação direta da expressão
(é conveniente escrever
).
Aplicamos a regra do produto:
Aplicamos a regra do produto:
Substituindo
do passo anterior:
Colocando de forma explícita:
Interpretação física: cada termo corresponde à velocidade na direção radial, polar e azimutal. Note que o componente azimutal tem o fator geométrico
porque arco azimutal com ângulo
tem raio efetivo
.
Passo 4
Calcular a aceleração
. Tomamos a derivada de
e usamos as derivadas das bases do passo 2. Procedimento passo a passo:
Começamos por diferenciar
.
- Derivada do primeiro termo:
- Derivada do segundo termo:
- Derivada do terceiro termo:
Agora substituímos
e agrupamos termos nas três direções
. Fazendo essa algebra (mostro as contas principais e o resultado clássico):
Coeficiente em
:
Coeficiente em
:
Coeficiente em
:
Portanto a forma final da aceleração é:
Breve explicação: cada termo tem origem clara pela regra do produto e pelas variações das bases. Por exemplo, o termo
em
é análogo ao termo centrífugo radial devido à variação angular em
; o termo com
em
é uma força de Coriolis geométrica (produto da velocidade radial pela mudança de base), etc.
Passo 5
Aplicar ao pêndulo esférico: impor
constante. Isso simplifica muito as expressões porque
. Substituindo em
e
:
Velocidade do pêndulo (com
):
Aceleração do pêndulo (com
,
):
Interpretação rápida: o componente radial é puramente centrífugo/centrípeto, o componente
contém o termo que envolve a curvatura azimutal
, e o componente
contém o termo de acoplamento
típico de movimentos sobre superfícies curvas.
Passo 6
Forças atuantes e projeção de Newton. As forças sobre a massa
são:
- Tensão do cabo
(apontando para o pivô, direção radial negativa; é módulo a determinar). - Gravidade
.
Expressar
nas bases esféricas: a componente
em termos de
é
(Na derivação:
tem componente
na direção
, e
tem componente
.)
Então a gravidade escrita nas bases esféricas:
Somando forças:
Não há componente na direção
:
.
Agora aplicamos a Segunda Lei
. Projetando em cada base obtém-se três equações escalares.
Passo 7
Projetar
nas três direções.
Componente radial (
):
Isolando
(frequentemente útil):
Comentário: a tensão equilibra a componente radial da aceleração e o peso radial.
Componente polar (
):
Dividindo por
dá a equação do movimento para
:
Podemos reorganizar assim:
Aviso físico sobre o sinal: com a convenção
medido a partir do eixo
, a posição de equilíbrio de mínimo potencial gravitacional é
(massa pendurada abaixo do pivô). Ao linearizar em torno de
recupera-se a equação usual do pêndulo plano.
Componente azimutal (
):
ou, simplificando:
Essa equação implica conservação de um momento associado ao giro azimutal. Reescrevendo em forma conservada:
onde
é a componente do momento angular em torno do eixo
. Mais explicitamente, o momento angular conservado é
Passo 8
Checagens físicas e limites:
- Se o movimento for restringido ao plano contendo o z (ou seja
), a equação de reduz-se a
e, linearizando em torno do equilíbrio inferior
(usar
com
), obtém-se
, que é a equação do pêndulo simples (frequência
). Isso confirma consistência de sinais quando se lembra que o equilíbrio físico é
.
- A equação azimutal mostra conservação do giro: se
variar, ajusta-se de modo que seja constante (compensação do “braço” ).
Passo 9
Resumo didático final das expressões principais (para decorar e aplicar na prova):
Velocidade em coordenadas esféricas:
Aceleração em coordenadas esféricas:
Para o pêndulo esférico (
fixo) — velocidade e aceleração simplificadas:
Equações do movimento (Newton
):
Resposta
Para o pêndulo esférico com
Equações do movimento: