3.1 Considere uma canal aberto com água escoando com velocidade uniforme de módulo v. Considere um arame dobrado para delimitar um retângulo de área A. Se nós mergulharmos o retângulo perpendicularmente ao fluxo de água teremos uma certa quantidade de volume de água atravessando a área do retângulo por unidade de tempo, ou seja, uma certa vazão. Se mergulharmos o retângulo paralelamente ao fluxo de água, não haverá fluxo através do retângulo. Entre estas duas situações, há uma infinidade de situações intermediárias. Mostre que a vazão é dada por
V a z a o=\vec{v} \cdot \vec{A},

Passo 1

O enunciado descreve um fluxo de água com velocidade uniforme v num canal e um retângulo de área A imerso em diferentes orientações em relação ao fluxo. Queremos calcular a vazão, que é o volume de água que atravessa essa área por unidade de tempo. O conteúdo que vamos usar é a definição de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície plana, passando pelo fator geométrico \cos\theta e chegando ao produto escalar.

Passo 2

Seja \theta o ângulo entre a normal ao plano do retângulo e a direção do vetor velocidade \vec v. Quando o retângulo está perfeitamente perpendicular ao fluxo, \theta=0 e a vazão é máxima; quando está paralelo, \theta=90^\circ e a vazão é zero. Em qualquer orientação intermediária, só a componente de \vec v perpendicular ao plano contribui para o transporte de volume.

Passo 3

A componente da velocidade que atravessa a área é v\cos\theta. Como em cada segundo uma lâmina de água de espessura v\cos\theta passa pelo retângulo de área A, o volume por segundo (vazão) é
\text{Vazão} = A \times \bigl(v\cos\theta\bigr) = v\,A\cos\theta.ã

Passo 4

Definimos o vetor área como
\vec A = A\,\hat n,
onde \hat n é a unidade normal ao plano. Então escrevemos o produto escalar com \vec v:
\vec v \cdot \vec A = v\,\hat v \;\cdot\; A\,\hat n = v\,A\,\cos\theta.
Isso coincide exatamente com a expressão da vazão obtida geometricamente.

Resposta

\text{Vazão} = \vec v \cdot \vec A.ã

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