3.1 Considere uma canal aberto com água escoando com velocidade uniforme de módulo
. Considere um arame dobrado para delimitar um retângulo de área
. Se nós mergulharmos o retângulo perpendicularmente ao fluxo de água teremos uma certa quantidade de volume de água atravessando a área do retângulo por unidade de tempo, ou seja, uma certa vazão. Se mergulharmos o retângulo paralelamente ao fluxo de água, não haverá fluxo através do retângulo. Entre estas duas situações, há uma infinidade de situações intermediárias. Mostre que a vazão é dada por
Passo 1
O enunciado descreve um fluxo de água com velocidade uniforme
num canal e um retângulo de área
imerso em diferentes orientações em relação ao fluxo. Queremos calcular a vazão, que é o volume de água que atravessa essa área por unidade de tempo. O conteúdo que vamos usar é a definição de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície plana, passando pelo fator geométrico
e chegando ao produto escalar.
Passo 2
Seja
o ângulo entre a normal ao plano do retângulo e a direção do vetor velocidade
. Quando o retângulo está perfeitamente perpendicular ao fluxo,
e a vazão é máxima; quando está paralelo,
e a vazão é zero. Em qualquer orientação intermediária, só a componente de
perpendicular ao plano contribui para o transporte de volume.
Passo 3
A componente da velocidade que atravessa a área é
. Como em cada segundo uma lâmina de água de espessura
passa pelo retângulo de área
, o volume por segundo (vazão) é
Passo 4
Definimos o vetor área como
onde
é a unidade normal ao plano. Então escrevemos o produto escalar com
:
Isso coincide exatamente com a expressão da vazão obtida geometricamente.