2.3 Considere um dipolo elétrico ao longo do eixo x e centrado na origem. Obtenha, explicando detalhadamente toda a análise, a expressão para o vetor campo elétrico num ponto qualquer ( x, y ) do plano x y(z=0). Agora repita a análise, mas considere um ponto qualquer (y, z) no plano y z(x=0).

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico de um dipolo centrado na origem, com momento dipolar \mathbf p=p\,\hat{\mathbf x}. Primeiro queremos \mathbf E num ponto (x,y) do plano xy (ou seja z=0), depois num ponto (y,z) do plano yz x=0. Para isso usaremos a forma vetorial já conhecida do campo de um dipolo:
\mathbf E(\mathbf r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \Bigl[ \frac{3(\mathbf p\cdot\mathbf r)\,\mathbf r}{r^5} -\frac{\mathbf p}{r^3} \Bigr],
onde \mathbf r é o vetor posição e r=|\mathbf r|.

Passo 2

No plano xy temos
\mathbf r = x\,\hat{\mathbf x}+y\,\hat{\mathbf y}, \quad r=\sqrt{x^2+y^2},
e
\mathbf p\cdot\mathbf r =p\,\hat{\mathbf x}\cdot(x\,\hat{\mathbf x}+y\,\hat{\mathbf y}) =p\,x.
Substituindo em \mathbf E obtemos
\mathbf E(x,y,0) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \Biggl[ \frac{3(p\,x)\,(x\,\hat{\mathbf x}+y\,\hat{\mathbf y})}{(x^2+y^2)^{5/2}} -\frac{p\,\hat{\mathbf x}}{(x^2+y^2)^{3/2}} \Biggr].

Passo 3

Agora separamos as componentes:
E_x(x,y,0) =\frac{p}{4\pi\varepsilon_0} \frac{3x^2-(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{5/2}} =\frac{p\,(2x^2-y^2)}{4\pi\varepsilon_0\,(x^2+y^2)^{5/2}},
E_y(x,y,0) =\frac{p}{4\pi\varepsilon_0} \frac{3x\,y}{(x^2+y^2)^{5/2}},
e claramente E_z(x,y,0)=0.

Passo 4

No plano yz temos
\mathbf r = y\,\hat{\mathbf y}+z\,\hat{\mathbf z}, \quad r=\sqrt{y^2+z^2},
mas agora \mathbf p\cdot\mathbf r = p\,\hat{\mathbf x}\cdot(y\,\hat{\mathbf y}+z\,\hat{\mathbf z})=0.
Isso faz a parte “ 3(\mathbf p\cdot\mathbf r)\,\mathbf r” sumir, restando
\mathbf E(0,y,z) =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{\mathbf p}{(y^2+z^2)^{3/2}} =-\frac{p}{4\pi\varepsilon_0\,(y^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf x},
com E_y=0 e E_z=0.

Resposta

Para o plano xy z=0:
E_x(x,y,0) =\frac{p\,(2x^2-y^2)}{4\pi\varepsilon_0\,(x^2+y^2)^{5/2}}, \quad E_y(x,y,0) =\frac{3p\,x\,y}{4\pi\varepsilon_0\,(x^2+y^2)^{5/2}}, \quad E_z=0.
Para o plano yz x=0:
\mathbf E(0,y,z) =-\frac{p}{4\pi\varepsilon_0\,(y^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf x}, \quad E_y=0, \quad E_z=0.

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