2.4 Considere três cargas pontuais iguais localizadas nos vértices de um triângulo equilátero. Determine o vetor campo elétrico a) nos pontos ao longo de uma reta perpendicular ao triângulo e passando pelo seu baricentro; b) nos pontos ao longo da reta contendo uma das medianas do triângulo.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico resultante de três cargas pontuais iguais Q nos vértices de um triângulo equilátero de lado a. Vamos usar a Lei de Coulomb
\mathbf{E}=\sum_{i=1}^{3}k\,Q\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_i}{\bigl|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\bigr|^3}
e o princípio da superposição.

Passo 2

Para explorar a simetria, colocamos o triângulo no plano xy com o baricentro na origem e definimos
L=\frac{a}{\sqrt3}
que é a distância do baricentro a cada vértice.

Passo 3

(a) No eixo perpendicular ao plano, o ponto de observação é \mathbf{r}=(0,0,z). Cada carga está a uma distância \sqrt{L^2+z^2} e as componentes em x,y se cancelam por simetria, sobrando só a componente z. Assim
\mathbf{E}(0,0,z) =3\,k\,Q\,\frac{z}{\bigl(L^2+z^2\bigr)^{3/2}}\;\hat{z}.

Passo 4

(b) Na reta que contém uma mediana, escolhemos o eixo x passando pelo baricentro e pelo vértice Q_3. As posições são
Q_3:(L,0,0),\quad Q_1:\bigl(-\tfrac{L}{2},\tfrac{\sqrt3\,L}{2},0\bigr),\quad Q_2:\bigl(-\tfrac{L}{2},-\tfrac{\sqrt3\,L}{2},0\bigr),
e o ponto de observação é P=(x,0,0).

Passo 5

Em P, o campo de Q_3 é
\mathbf{E}_3 = k\,Q\,\frac{(x-L)\,\hat{i}}{\lvert x-L\rvert^3},
e cada uma de Q_1,Q_2 dá só componente em x, pois as em y se cancelam. A distância comum é
d_1=\sqrt{\bigl(x+\tfrac{L}{2}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{\sqrt3\,L}{2}\bigr)^2} =\sqrt{\bigl(x+\tfrac{L}{2}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^2},
então
\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2 =2\,k\,Q\,\frac{\bigl(x+\tfrac{L}{2}\bigr)\,\hat{i}} {\bigl((x+\tfrac{L}{2})^2+(a/2)^2\bigr)^{3/2}}.
Somando com \mathbf{E}_3 vem

Resposta

(a) \mathbf{E}(0,0,z) =3\,k\,Q\,\frac{z}{\bigl((a/\sqrt3)^2+z^2\bigr)^{3/2}}\;\hat{z}.
(b) \mathbf{E}(x,0,0) = k\,Q\biggl[ \frac{x-L}{\lvert x-L\rvert^3} +\frac{2\,(x+\tfrac{L}{2})} {\bigl((x+\tfrac{L}{2})^2+(a/2)^2\bigr)^{3/2}} \biggr]\hat{i}, \quad L=\frac{a}{\sqrt3}.

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