3.1 Considere uma canal aberto com água escoando com velocidade uniforme de módulo v. Considere um arame dobrado para delimitar um retângulo de área A. Se nós mergulharmos o retângulo perpendicularmente ao fluxo de água teremos uma certa quantidade de volume de água atravessando a área do retângulo por unidade de tempo, ou seja, uma certa vazão. Se mergulharmos o retângulo paralelamente ao fluxo de água, não haverá fluxo através do retângulo. Entre estas duas situações, há uma infinidade de situações intermediárias. Mostre que a vazão é dada por
V a z a o=\vec{v} \cdot \vec{A},
explicando cuidadosamente o significado dos vetores presentes e do produto escalar entre eles.

Passo 1

O enunciado descreve água escoando num canal aberto com velocidade uniforme de módulo v. Temos um arame em forma de retângulo de área A. Quando o retângulo está:
– perpendicular ao fluxo, um certo volume de água atravessa-o por unidade de tempo (vazão máxima \,vA);
– paralelo ao fluxo, não há passagem de água (vazão zero).
O conteúdo é o conceito de fluxo volumétrico (ou simplesmente vazão) e a ideia de produto escalar aplicado a um vetor velocidade e a um vetor que representa área.

Passo 2

Definimos a vazão Q como o volume de fluido que atravessa a superfície por unidade de tempo. Num caso geral onde a superfície está inclinada de um ângulo \theta em relação à direção da velocidade, apenas a componente da velocidade normal à superfície contribui para o volume que atravessa. Essa componente normal vale v\cos\theta. Logo, o volume que atravessa em um instante é a área A vezes essa componente de velocidade, isto é,
Q = A\,(v\cos\theta).

Passo 3

Para escrever de modo compacto, introduzimos o vetor área \vec{A} cuja magnitude é a área do retângulo e cuja direção é perpendicular à superfície (seguindo a orientação escolhida). Assim,
\vec{A} = A\,\hat{n},
onde \hat{n} é o versor normal à superfície. Também temos o vetor velocidade
\vec{v} = v\,\hat{u},
sendo \hat{u} o versor na direção do fluxo.

Passo 4

O produto escalar entre \vec{v} e \vec{A} é definido como
\vec{v}\cdot\vec{A} = \bigl(v\,\hat{u}\bigr)\cdot\bigl(A\,\hat{n}\bigr) = v\,A\,(\hat{u}\cdot\hat{n}) = v\,A\,\cos\theta.
Comparando com a expressão do passo 2, vemos que
Q = v\,A\,\cos\theta = \vec{v}\cdot\vec{A}.

Resposta

\text{Vazão} = \vec{v}\cdot\vec{A}.ã

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