3.1 Considere uma canal aberto com água escoando com velocidade uniforme de módulo
. Considere um arame dobrado para delimitar um retângulo de área
. Se nós mergulharmos o retângulo perpendicularmente ao fluxo de água teremos uma certa quantidade de volume de água atravessando a área do retângulo por unidade de tempo, ou seja, uma certa vazão. Se mergulharmos o retângulo paralelamente ao fluxo de água, não haverá fluxo através do retângulo. Entre estas duas situações, há uma infinidade de situações intermediárias. Mostre que a vazão é dada por
explicando cuidadosamente o significado dos vetores presentes e do produto escalar entre eles.
Passo 1
O enunciado descreve água escoando num canal aberto com velocidade uniforme de módulo
. Temos um arame em forma de retângulo de área
. Quando o retângulo está:
– perpendicular ao fluxo, um certo volume de água atravessa-o por unidade de tempo (vazão máxima );
– paralelo ao fluxo, não há passagem de água (vazão zero).
O conteúdo é o conceito de fluxo volumétrico (ou simplesmente vazão) e a ideia de produto escalar aplicado a um vetor velocidade e a um vetor que representa área.
– perpendicular ao fluxo, um certo volume de água atravessa-o por unidade de tempo (vazão máxima
– paralelo ao fluxo, não há passagem de água (vazão zero).
O conteúdo é o conceito de fluxo volumétrico (ou simplesmente vazão) e a ideia de produto escalar aplicado a um vetor velocidade e a um vetor que representa área.
Passo 2
Definimos a vazão
como o volume de fluido que atravessa a superfície por unidade de tempo. Num caso geral onde a superfície está inclinada de um ângulo
em relação à direção da velocidade, apenas a componente da velocidade normal à superfície contribui para o volume que atravessa. Essa componente normal vale
. Logo, o volume que atravessa em um instante é a área
vezes essa componente de velocidade, isto é,
Passo 3
Para escrever de modo compacto, introduzimos o vetor área
cuja magnitude é a área do retângulo e cuja direção é perpendicular à superfície (seguindo a orientação escolhida). Assim,
onde
é o versor normal à superfície. Também temos o vetor velocidade
sendo
o versor na direção do fluxo.
Passo 4
O produto escalar entre
e
é definido como
Comparando com a expressão do passo 2, vemos que