Considere uma canoa de comprimento
e duas pessoas, Pedro e Renata, sentadas cada uma num dos extremos da canoa. Inicialmente, a canoa está em repouso flutuando sobre as águas paradas de um lago. Escolha o eixo
ao longo da canoa, com a sua origem no extremo esquerdo da canoa, onde, por hipótese, Pedro está sentado e apontando no de Pedro para Renata antes que eles troquem suas posições. Seja
a massa de Pedro,
a de Renata e
a da canoa.
(a) Pedro e Renata resolvem trocar de lugar. Supondo que a canoa se mova apenas horizontalmente e desprezando o atrito entre ela e a água, determine o deslocamento total da canoa
após a troca.
(b) O resultado obtido no item anterior depende do modo como Pedro e Renata se movimentam durante a troca?
(a) Pedro e Renata resolvem trocar de lugar. Supondo que a canoa se mova apenas horizontalmente e desprezando o atrito entre ela e a água, determine o deslocamento total da canoa
(b) O resultado obtido no item anterior depende do modo como Pedro e Renata se movimentam durante a troca?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o deslocamento total da canoa
após Pedro e Renata trocarem de lugar. - (b) Dizer se esse resultado depende do modo (trajetória/detalhes) como eles se movimentam durante a troca.
Informações dadas e hipóteses:
Hipóteses físicas importantes (dadas no enunciado):
- A canoa se move apenas horizontalmente (sem rotação).
- Despreza-se o atrito com a água (ou seja, nenhuma força externa horizontal significativa).
- Inicialmente a canoa está em repouso.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicação didática):
O centro de massa (CM) de um conjunto de partículas (ou corpos rígidos) com massas e posições
é dado por
O centro de massa (CM) de um conjunto de partículas (ou corpos rígidos) com massas
Aqui
é a coordenada (ao longo do eixo
) de cada massa
. Se não existem forças externas horizontais resultantes atuando no sistema, a posição do centro de massa no referencial inercial não muda com o tempo — isto é, o CM é conservado horizontalmente. Essa conservação vale independentemente de como internamente as pessoas andam sobre a canoa: forças internas não alteram a posição do CM do sistema isolado.
Passo 3
Vamos identificar as posições iniciais (referidas ao eixo cujo zero está no extremo esquerdo da canoa, que coincide com a posição inicial do extremo esquerdo):
- Pedro inicialmente está no extremo esquerdo:
- Renata inicialmente está no extremo direito:
- O centro de massa da canoa (supondo canoa homogênea) está no meio:
Passo 4
Agora descrevemos as posições finais (após a troca) em função do deslocamento da canoa
— aqui
é a translação que a canoa (e, portanto, seus pontos marcantes) fez em relação ao referencial inicial da água. Como a canoa se deslocou
para a direita (sinal pode ser positivo ou negativo), as posições finais absolutas (no mesmo referencial) são:
- Depois da troca Pedro está no extremo direito da canoa, cuja posição absoluta é a posição do extremo esquerdo mais
:
- Renata passa para o extremo esquerdo:
- O centro da canoa deslocou-se também de
, então
Passo 5
Aplicamos a conservação da posição do centro de massa (momento horizontal do sistema constante). A condição é
Substituímos as posições iniciais e finais encontradas nos Passos 3 e 4.
Passo 6
Escrevendo a igualdade com os valores:
Passo 7
Simplificamos os dois lados. O lado esquerdo é
O lado direito é
Passo 8
Agora cancelamos termos iguais em ambos os lados — observe que
aparece nos dois lados, então eles se anulam:
Passo 9
Isolamos
:
Fatorando
no lado esquerdo,
Portanto
Passo 10
Interpretação do resultado (didática e intuição):
- O sinal de
depende de . Se então (a canoa desloca-se para a direita); se desloca-se para a esquerda; se a canoa não sofre deslocamento final ( ). - Note que o deslocamento depende apenas das massas e do comprimento
(e da hipótese de que os lugares trocam dos extremos). Não dependemos de como, dinamicamente, a troca foi realizada — apenas da configuração inicial e final e da ausência de forças externas horizontais.
Passo 11
Resposta à parte (b) — explicação curta e clara:
O resultado não depende do modo como Pedro e Renata se movimentam durante a troca, desde que as hipóteses do problema se mantenham (sem forças externas horizontais significativas e apenas translação horizontal da canoa). Isso porque a posição do centro de massa do sistema é conservada e a conservação do CM relaciona apenas as posições iniciais e finais das massas, não as trajetórias percorridas.
O resultado não depende do modo como Pedro e Renata se movimentam durante a troca, desde que as hipóteses do problema se mantenham (sem forças externas horizontais significativas e apenas translação horizontal da canoa). Isso porque a posição do centro de massa do sistema é conservada e a conservação do CM relaciona apenas as posições iniciais e finais das massas, não as trajetórias percorridas.
Resposta
(a)
(b) Não; o valor de
não depende do modo como eles se movimentam durante a troca, desde que não haja forças externas horizontais e a canoa só se desloque horizontalmente.