Considere uma canoa de comprimento \ell e duas pessoas, Pedro e Renata, sentadas cada uma num dos extremos da canoa. Inicialmente, a canoa está em repouso flutuando sobre as águas paradas de um lago. Escolha o eixo \mathcal{O} \mathcal{X} ao longo da canoa, com a sua origem no extremo esquerdo da canoa, onde, por hipótese, Pedro está sentado e apontando no de Pedro para Renata antes que eles troquem suas posições. Seja m_{P} a massa de Pedro, m_{R} a de Renata e m_{c} a da canoa.
(a) Pedro e Renata resolvem trocar de lugar. Supondo que a canoa se mova apenas horizontalmente e desprezando o atrito entre ela e a água, determine o deslocamento total da canoa \Delta x_{C} após a troca.
(b) O resultado obtido no item anterior depende do modo como Pedro e Renata se movimentam durante a troca?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o deslocamento total da canoa \Delta x_{C} após Pedro e Renata trocarem de lugar.
  2. (b) Dizer se esse resultado depende do modo (trajetória/detalhes) como eles se movimentam durante a troca.
Informações dadas e hipóteses:
\text{comprimento da canoa} = \ell, \quad m_{P} = \text{massa de Pedro}, \quad m_{R} = \text{massa de Renata}, \quad m_{c} = \text{massa da canoa}.
\text{Eixo } \mathcal{O}\mathcal{X}\text{ escolhido ao longo da canoa, com } \mathcal{O}\text{ no extremo esquerdo, onde Pedro está inicialmente.}á
Hipóteses físicas importantes (dadas no enunciado):
  • A canoa se move apenas horizontalmente (sem rotação).
  • Despreza-se o atrito com a água (ou seja, nenhuma força externa horizontal significativa).
  • Inicialmente a canoa está em repouso.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicação didática):
O centro de massa (CM) de um conjunto de partículas (ou corpos rígidos) com massas m_i e posições x_i é dado por
X_{\text{CM}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i}.
Aqui x_i é a coordenada (ao longo do eixo \mathcal{O}\mathcal{X}) de cada massa m_i. Se não existem forças externas horizontais resultantes atuando no sistema, a posição do centro de massa no referencial inercial não muda com o tempo — isto é, o CM é conservado horizontalmente. Essa conservação vale independentemente de como internamente as pessoas andam sobre a canoa: forças internas não alteram a posição do CM do sistema isolado.

Passo 3

Vamos identificar as posições iniciais (referidas ao eixo cujo zero está no extremo esquerdo da canoa, que coincide com a posição inicial do extremo esquerdo):
  • Pedro inicialmente está no extremo esquerdo: x_P^{(i)} = 0.
  • Renata inicialmente está no extremo direito: x_R^{(i)} = \ell.
  • O centro de massa da canoa (supondo canoa homogênea) está no meio: x_c^{(i)} = \frac{\ell}{2}.

Passo 4

Agora descrevemos as posições finais (após a troca) em função do deslocamento da canoa \Delta x_{C} — aqui \Delta x_{C} é a translação que a canoa (e, portanto, seus pontos marcantes) fez em relação ao referencial inicial da água. Como a canoa se deslocou \Delta x_{C} para a direita (sinal pode ser positivo ou negativo), as posições finais absolutas (no mesmo referencial) são:
  • Depois da troca Pedro está no extremo direito da canoa, cuja posição absoluta é a posição do extremo esquerdo mais \ell:
x_P^{(f)} = \Delta x_{C} + \ell.
  • Renata passa para o extremo esquerdo:
x_R^{(f)} = \Delta x_{C} + 0 = \Delta x_{C}.
  • O centro da canoa deslocou-se também de \Delta x_{C}, então
x_c^{(f)} = \Delta x_{C} + \frac{\ell}{2}.

Passo 5

Aplicamos a conservação da posição do centro de massa (momento horizontal do sistema constante). A condição é
m_P x_P^{(i)} + m_R x_R^{(i)} + m_c x_c^{(i)} = m_P x_P^{(f)} + m_R x_R^{(f)} + m_c x_c^{(f)}.
Substituímos as posições iniciais e finais encontradas nos Passos 3 e 4.

Passo 6

Escrevendo a igualdade com os valores:
m_P\cdot 0 + m_R\cdot \ell + m_c\cdot\frac{\ell}{2} = m_P\bigl(\Delta x_{C} + \ell\bigr) + m_R\bigl(\Delta x_{C}\bigr) + m_c\bigl(\Delta x_{C} + \tfrac{\ell}{2}\bigr).

Passo 7

Simplificamos os dois lados. O lado esquerdo é
m_R\ell + \frac{m_c\ell}{2}.
O lado direito é
\Delta x_{C}\,(m_P + m_R + m_c) + m_P\ell + \frac{m_c\ell}{2}.

Passo 8

Agora cancelamos termos iguais em ambos os lados — observe que \tfrac{m_c\ell}{2} aparece nos dois lados, então eles se anulam:
m_R\ell = \Delta x_{C}\,(m_P + m_R + m_c) + m_P\ell.

Passo 9

Isolamos \Delta x_{C}:
m_R\ell - m_P\ell = \Delta x_{C}\,(m_P + m_R + m_c).
Fatorando \ell no lado esquerdo,
\ell\,(m_R - m_P) = \Delta x_{C}\,(m_P + m_R + m_c).
Portanto
\Delta x_{C} = \frac{(m_R - m_P)\,\ell}{m_P + m_R + m_c}.

Passo 10

Interpretação do resultado (didática e intuição):
  • O sinal de \Delta x_{C} depende de m_R - m_P. Se m_R>m_P então \Delta x_{C}>0 (a canoa desloca-se para a direita); se m_R<m_P desloca-se para a esquerda; se m_R=m_P a canoa não sofre deslocamento final ( \Delta x_{C}=0).
  • Note que o deslocamento depende apenas das massas e do comprimento \ell (e da hipótese de que os lugares trocam dos extremos). Não dependemos de como, dinamicamente, a troca foi realizada — apenas da configuração inicial e final e da ausência de forças externas horizontais.

Passo 11

Resposta à parte (b) — explicação curta e clara:
O resultado não depende do modo como Pedro e Renata se movimentam durante a troca, desde que as hipóteses do problema se mantenham (sem forças externas horizontais significativas e apenas translação horizontal da canoa). Isso porque a posição do centro de massa do sistema é conservada e a conservação do CM relaciona apenas as posições iniciais e finais das massas, não as trajetórias percorridas.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta x_{C}=\frac{(m_{R}-m_{P})\,\ell}{m_{P}+m_{R}+m_{c}}.
(b) Não; o valor de \Delta x_{C} não depende do modo como eles se movimentam durante a troca, desde que não haja forças externas horizontais e a canoa só se desloque horizontalmente.

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