Considere um pêndulo físico formado por uma barra homogênea de massa
e comprimento
que está suspensa por um eixo que passa por um de seus extremos. A barra é abandonada do repouso quando está na horizontal.
(a) Calcule a velocidade do centro de massa da barra quando ela está na vertical.
(b) Calcule a componente, ao longo da direção da barra, da força que o eixo exerce sobre o extremo articulado da barra quando ela faz um ângulo
com a vertical.
(a) Calcule a velocidade do centro de massa da barra quando ela está na vertical.
(b) Calcule a componente, ao longo da direção da barra, da força que o eixo exerce sobre o extremo articulado da barra quando ela faz um ângulo
Passo 1
O enunciado dá uma barra homogênea de massa
e comprimento
, apoiada por um eixo no seu extremo. A barra é abandonada do repouso quando está na horizontal e depois passa pela posição vertical.
As perguntas são:
As perguntas são:
- (a) Calcular a velocidade do centro de massa da barra quando ela está na vertical.
- (b) Calcular a componente, ao longo da direção da barra, da força que o eixo exerce sobre o extremo articulado da barra quando ela faz um ângulo
com a vertical.
Informações relevantes fornecidas:
- Barra homogênea (centro de massa no meio, a distância do pivot ao CM é
). - Momento de inércia da barra em relação a um eixo passando por uma extremidade (barra fina homogênea):
. - A barra parte do repouso na horizontal (
medida a partir da vertical) e atinge posições com ângulo com a vertical.
(Não eu não resolvo nada ainda; apenas identifiquei o pedido e os dados.)
Passo 2
Conservação de energia para encontrar a velocidade do centro de massa na posição vertical (parte a).
A ideia: a perda de energia potencial gravitacional do centro de massa vira energia cinética rotacional da barra em torno do pivô.
A ideia: a perda de energia potencial gravitacional do centro de massa vira energia cinética rotacional da barra em torno do pivô.
- Posicionamento de referência: tomo a posição vertical para baixo (
) como referência opcional para facilitar contas. A altura do centro de massa, medido verticalmente a partir da posição mais baixa, é
Para a posição inicial horizontal temos
e
, logo a energia potencial inicial relativa à posição mais baixa é
Quando a barra chega à vertical para baixo (
) a energia potencial é
. A energia potencial perdida é então
.
- Essa energia transformou-se em energia cinética rotacional:
onde
e
é a velocidade angular na posição vertical.
- Substituindo
:
Simplificando (cancelando
e simplificando fatores):
- A velocidade do centro de massa está ligada à velocidade angular por
. Assim
Passo 3
Cálculo preliminar útil para a parte (b): velocidade angular
quando a barra faz um ângulo genérico
com a vertical, usando conservação de energia (energia liberada desde a posição inicial horizontal até
).
- A energia potencial inicial (na horizontal) relativa à posição mais baixa é
(como no passo anterior). A energia potencial na posição com ângulo (medida a partir da vertical) é
- A energia cinética rotacional àquela posição é a diferença:
- Substituindo
,
Passo 4
Força axial no pivô (parte b). Vou calcular a componente, ao longo da barra, da força que o eixo exerce sobre o extremo. Método: equacionar as forças sobre o centro de massa na direção radial (ao longo da barra) usando a segunda lei
.
- Escolha de sinais e definições:
- Direção radial (unitária)
: do pivô para o centro de massa, ao longo da barra (posição do CM a do pivô). - Seja
a componente da força que o eixo exerce sobre a barra, tomada positiva no sentido de (ou seja, apontando do pivô para o CM). - A gravidade tem componente ao longo de
igual a (quando ambas apontam na mesma direção). - A aceleração radial do CM, como o raio é fixo
, é puramente centrípeta e vale
onde o sinal negativo indica que a aceleração é dirigida para o pivô (oposta a
).
- Escrevendo a 2ª lei na direção
:
Isolando
:
- Substituir
obtido no passo 3:
Logo
- Interpretação do sinal:
negativo significa que a força que o eixo exerce sobre a barra, ao longo da barra, está dirigida para o pivô (ou seja, o eixo comprime a barra). O módulo dessa componente axial é , e sua orientação ao longo da barra é para o pivô quando (isto é, ).
Resposta
(a)
(b)