Considere um pêndulo físico formado por uma barra homogênea de massa M e comprimento \ell que está suspensa por um eixo que passa por um de seus extremos. A barra é abandonada do repouso quando está na horizontal.
(a) Calcule a velocidade do centro de massa da barra quando ela está na vertical.
(b) Calcule a componente, ao longo da direção da barra, da força que o eixo exerce sobre o extremo articulado da barra quando ela faz um ângulo \theta com a vertical.

Passo 1

O enunciado dá uma barra homogênea de massa M e comprimento \ell, apoiada por um eixo no seu extremo. A barra é abandonada do repouso quando está na horizontal e depois passa pela posição vertical.
As perguntas são:
  • (a) Calcular a velocidade do centro de massa da barra quando ela está na vertical.
  • (b) Calcular a componente, ao longo da direção da barra, da força que o eixo exerce sobre o extremo articulado da barra quando ela faz um ângulo \theta com a vertical.
Informações relevantes fornecidas:
  • Barra homogênea (centro de massa no meio, a distância do pivot ao CM é r=\ell/2).
  • Momento de inércia da barra em relação a um eixo passando por uma extremidade (barra fina homogênea): \displaystyle I=\frac{1}{3}M\ell^{2}.
  • A barra parte do repouso na horizontal ( \theta=\pi/2 medida a partir da vertical) e atinge posições com ângulo \theta com a vertical.
    (Não eu não resolvo nada ainda; apenas identifiquei o pedido e os dados.)

Passo 2

Conservação de energia para encontrar a velocidade do centro de massa na posição vertical (parte a).
A ideia: a perda de energia potencial gravitacional do centro de massa vira energia cinética rotacional da barra em torno do pivô.
  1. Posicionamento de referência: tomo a posição vertical para baixo ( \theta=0) como referência opcional para facilitar contas. A altura do centro de massa, medido verticalmente a partir da posição mais baixa, é
h(\theta)=\frac{\ell}{2}\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Para a posição inicial horizontal temos \theta=\pi/2 e \cos(\pi/2)=0, logo a energia potencial inicial relativa à posição mais baixa é
U_i = M g \frac{\ell}{2}.
Quando a barra chega à vertical para baixo ( \theta=0) a energia potencial é U_f=0. A energia potencial perdida é então M g\frac{\ell}{2}.
  1. Essa energia transformou-se em energia cinética rotacional:
\frac{1}{2}I\omega^{2}=M g\frac{\ell}{2},
onde I=\dfrac{1}{3}M\ell^{2} e \omega é a velocidade angular na posição vertical.
  1. Substituindo I:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}M\ell^{2}\,\omega^{2}=M g\frac{\ell}{2}.
Simplificando (cancelando M e simplificando fatores):
\frac{1}{6}\ell^{2}\omega^{2}=\frac{1}{2}g\ell \quad\Rightarrow\quad \omega^{2}=\frac{3g}{\ell}.
  1. A velocidade do centro de massa está ligada à velocidade angular por v_{\mathrm{cm}}=\omega\cdot(\ell/2). Assim
v_{\mathrm{cm}}=\frac{\ell}{2}\sqrt{\frac{3g}{\ell}}=\frac{1}{2}\sqrt{3g\ell}.

Passo 3

Cálculo preliminar útil para a parte (b): velocidade angular \omega quando a barra faz um ângulo genérico \theta com a vertical, usando conservação de energia (energia liberada desde a posição inicial horizontal até \theta).
  1. A energia potencial inicial (na horizontal) relativa à posição mais baixa é M g\frac{\ell}{2} (como no passo anterior). A energia potencial na posição com ângulo \theta (medida a partir da vertical) é
U(\theta)=M g \frac{\ell}{2}\bigl(1-\cos\theta\bigr).
  1. A energia cinética rotacional àquela posição é a diferença:
\frac{1}{2}I\omega^{2}=M g\frac{\ell}{2}-M g\frac{\ell}{2}\bigl(1-\cos\theta\bigr)=M g\frac{\ell}{2}\cos\theta.
  1. Substituindo I=\dfrac{1}{3}M\ell^{2},
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}M\ell^{2}\,\omega^{2}=M g\frac{\ell}{2}\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \omega^{2}=\frac{3g\cos\theta}{\ell}.

Passo 4

Força axial no pivô (parte b). Vou calcular a componente, ao longo da barra, da força que o eixo exerce sobre o extremo. Método: equacionar as forças sobre o centro de massa na direção radial (ao longo da barra) usando a segunda lei \sum F_{r}=M a_{r}.
  1. Escolha de sinais e definições:
  • Direção radial (unitária) \hat{r}: do pivô para o centro de massa, ao longo da barra (posição do CM a r=\ell/2 do pivô).
  • Seja F a componente da força que o eixo exerce sobre a barra, tomada positiva no sentido de \hat{r} (ou seja, apontando do pivô para o CM).
  • A gravidade tem componente ao longo de \hat{r} igual a M g\cos\theta (quando \theta=0 ambas apontam na mesma direção).
  • A aceleração radial do CM, como o raio é fixo r=\ell/2, é puramente centrípeta e vale
a_{r}=-\frac{\ell}{2}\omega^{2},
onde o sinal negativo indica que a aceleração é dirigida para o pivô (oposta a \hat{r}).
  1. Escrevendo a 2ª lei na direção \hat{r}:
F + M g\cos\theta = M a_{r} = -M\frac{\ell}{2}\omega^{2}.
Isolando F:
F = -M g\cos\theta - M\frac{\ell}{2}\omega^{2}.
  1. Substituir \omega^{2} obtido no passo 3:
\omega^{2}=\frac{3g\cos\theta}{\ell} \quad\Rightarrow\quad M\frac{\ell}{2}\omega^{2}=M\frac{\ell}{2}\cdot\frac{3g\cos\theta}{\ell}=M\frac{3}{2}g\cos\theta.
Logo
F = -M g\cos\theta - M\frac{3}{2}g\cos\theta = -\frac{5}{2}M g\cos\theta.
  1. Interpretação do sinal: F negativo significa que a força que o eixo exerce sobre a barra, ao longo da barra, está dirigida para o pivô (ou seja, o eixo comprime a barra). O módulo dessa componente axial é \dfrac{5}{2}M g\lvert\cos\theta\rvert, e sua orientação ao longo da barra é para o pivô quando \cos\theta>0 (isto é, |\theta|<\pi/2).

Resposta

(a) \displaystyle v_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{2}\sqrt{3g\ell}.
(b) \displaystyle F_{\text{eixo, ao longo da barra}}=-\frac{5}{2}M g\cos\theta.

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